Complexes et géométrie/Exercices/Nombres complexes et géométrie
Exercice 1-1 (Milieu)
[modifier | modifier le wikicode]Soient et les points d'affixes respectives et .
Quelle est l'affixe du milieu de ?
L'affixe du milieu de vaut :
- .
Exercice 1-2 (Distance)
[modifier | modifier le wikicode]Soient et les points d'affixes respectives et .
Calculer la distance comme module d'un nombre complexe.
Exercice 1-3
[modifier | modifier le wikicode]Les points , et ont pour affixes respectives : , et .
- 1. Déterminer les affixes des vecteurs et .
- 2. En déduire que , et sont alignés.
- 3. Déterminer en utilisant 1) les réels et tels que :
- soit le barycentre de et et
- .
- 1. et .
- 2. donc .
- 3. et donc et .
Exercice 1-4
[modifier | modifier le wikicode]1. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :
- .
2. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :
- .
3. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :
- .
1. Médiatrice de .
2. Cercle de centre et de rayon .
3. Cercle de centre et de rayon car- .
Exercice 1-5 (Petits problèmes)
[modifier | modifier le wikicode]Soient , et les points d'affixes respectives :
- , et .
- 1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de 2 cm).
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
- 2. Calculer , et .
- .
- .
- .
- 3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
et , donc ABC est rectangle et isocèle en A.
- 4. Déterminer l'affixe du milieu I du segment [BC].
.
- 5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.
D est (par exemple) l'image de I par la translation de vecteur . Son affixe est donc :
- .
Exercice 1-6 (Avec des arguments)
[modifier | modifier le wikicode]On pose et .
- 1. Placer les points A et B d'affixes et dans un repère.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
- 2. Calculer les modules de zA et zB. Que peut-on en déduire sur le triangle ?
- .
- , autrement dit : , ou encore : OAB est isocèle en O.
- 3. Calculer un argument de , puis de . Que peut-on en déduire sur l'angle ?
- donc .
- .
- On en déduit que . L'angle est donc un angle droit.
- 4. En déduire la nature du triangle OAB.
Le triangle OAB est isocèle rectangle en O. Plus précisément et plus directement : .
Exercice 1-7 (Encore avec des arguments)
[modifier | modifier le wikicode]On a quatre points A, B, C et D d'affixes respectives , , et .
- 1. Calculer le module et un argument de , puis de , et .
- 2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
- 1. et (mod ) et .
- et (mod ) et .
- 2. D'après la question 1, les symétriques de A et C par rapport à la première bissectrice sont respectivement B et D, donc les quatre points sont sur un même cercle, dont le centre est sur cet axe. On peut calculer ses coordonnées en résolvant l'équation :
- , et le rayon est donc donné par
- , soit .
Exercice 1-8 (Droite d'Euler)
[modifier | modifier le wikicode]Soient A, B et C trois points distincts d'un cercle de centre O (le point d'affixe 0) et a, b, c leurs affixes respectives.
- 1. Déterminer l'affixe de leur isobarycentre G.
- 2. Démontrer que le point H d'affixe est l'orthocentre du triangle ABC.
- 3. Montrer que les points O, G et H sont alignés.
1. .
2. Il suffit de montrer que H est sur la hauteur issue de C, c'est-à-dire que l'angle (AB,CH) est droit.
- Pour cela, il faut et il suffit que soit imaginaire pur.
- .
3. Les trois points sont alignés car .
Exercice 1-9 (Valeurs exactes de et )
[modifier | modifier le wikicode]On considère les points et d'affixes respectives et , l'image de par la rotation de centre et d'angle , et le milieu du segment .
- 1. Donner les formes exponentielle et algébrique de l'affixe de .
- 2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe de est .
- 3. Montrer que les points , et sont alignés.
- 4. Déterminer les valeurs exactes de et . Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que .
1. donc la forme exponentielle de est
- et sa forme algébrique est :
- .
2. .
3. donc , et sont alignés.
4. D'après les questions 1 et 2 :
- ;
- ;
- .
- On en déduit :
- ;
- .