Leçons de niveau 13

Complexes et géométrie/Exercices/Nombres complexes et géométrie

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Nombres complexes et géométrie
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Exercices no1
Leçon : Complexes et géométrie

Ces exercices sont de niveau 13.

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Complexes et géométrie/Exercices/Nombres complexes et géométrie
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Exercice 1-1 (Milieu)[modifier | modifier le wikicode]

Soient et les points d'affixes respectives et .

Quelle est l'affixe du milieu de  ?

Exercice 1-2 (Distance)[modifier | modifier le wikicode]

Soient et les points d'affixes respectives et .

Calculer la distance comme module d'un nombre complexe.

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Les points , et ont pour affixes respectives : , et .

1. Déterminer les affixes des vecteurs et .
2. En déduire que , et sont alignés.
3. Déterminer en utilisant 1) les réels et tels que :
  • soit le barycentre de et et
  • .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

1. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

.

3. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

.

Exercice 1-5 (Petits problèmes)[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et les points d'affixes respectives :

, et .
1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de 2 cm).
2. Calculer , et .
3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
4. Déterminer l'affixe du milieu I du segment [BC].
5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.

Exercice 1-6 (Avec des arguments)[modifier | modifier le wikicode]

On pose et .

1. Placer les points A et B d'affixes et dans un repère.
2. Calculer les modules de zA et zB. Que peut-on en déduire sur le triangle  ?
3. Calculer un argument de , puis de . Que peut-on en déduire sur l'angle ?
4. En déduire la nature du triangle OAB.

Exercice 1-7 (Encore avec des arguments)[modifier | modifier le wikicode]

On a quatre points A, B, C et D d'affixes respectives , , et .

1. Calculer le module et un argument de , puis de , et .
2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 1-8 (Droite d'Euler)[modifier | modifier le wikicode]

Soient A, B et C trois points distincts d'un cercle de centre O (le point d'affixe 0) et a, b, c leurs affixes respectives.

1. Déterminer l'affixe de leur isobarycentre G.
2. Démontrer que le point H d'affixe est l'orthocentre du triangle ABC.
3. Montrer que les points O, G et H sont alignés.

Exercice 1-9 (Valeurs exactes de et )[modifier | modifier le wikicode]

On considère les points et d'affixes respectives et , l'image de par la rotation de centre et d'angle , et le milieu du segment .

1. Donner les formes exponentielle et algébrique de l'affixe de .
2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe de est .
3. Montrer que les points , et sont alignés.
4. Déterminer les valeurs exactes de et . Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que .