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Exercice : Nombres complexes et géométrieComplexes et géométrie/Exercices/Nombres complexes et géométrie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
les points d'affixes respectives
a
=
1
−
i
{\displaystyle a=1-\mathrm {i} }
et
b
=
−
2
+
3
i
{\displaystyle b=-2+3\mathrm {i} }
.
Quelle est l'affixe du milieu de
[
A
B
]
{\displaystyle [AB]}
?
Solution
L'affixe du milieu de
[
A
B
]
{\displaystyle [AB]}
vaut :
a
+
b
2
=
1
−
i
−
2
+
3
i
2
=
−
1
+
2
i
2
=
−
1
2
+
i
{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}={\frac {1-\mathrm {i} -2+3\mathrm {i} }{2}}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{2}}=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} }
.
Soient
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
les points d'affixes respectives
a
=
1
+
i
{\displaystyle a=1+\mathrm {i} }
et
b
=
3
−
2
i
{\displaystyle b=3-2\mathrm {i} }
.
Calculer la distance
A
B
{\displaystyle AB}
comme module d'un nombre complexe.
Solution
A
B
=
|
b
−
a
|
=
|
(
3
−
2
i
)
−
(
1
+
i
)
|
=
|
2
−
3
i
|
=
2
2
+
(
−
3
)
2
=
13
.
{\displaystyle {\begin{aligned}AB&=|b-a|\\&=|(3-2\mathrm {i} )-(1+\mathrm {i} )|\\&=|2-3\mathrm {i} |\\&={\sqrt {2^{2}+(-3)^{2}}}\\&={\sqrt {13}}.\end{aligned}}}
Les points
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
et
C
{\displaystyle C}
ont pour affixes respectives :
−
2
−
2
i
{\displaystyle -2-2\mathrm {i} }
,
1
−
i
{\displaystyle 1-\mathrm {i} }
et
10
+
2
i
{\displaystyle 10+2\mathrm {i} }
.
1. Déterminer les affixes des vecteurs
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
et
A
C
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}
.
2. En déduire que
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
et
C
{\displaystyle C}
sont alignés.
3. Déterminer en utilisant 1) les réels
b
{\displaystyle b}
et
c
{\displaystyle c}
tels que :
A
{\displaystyle A}
soit le barycentre de
(
B
,
b
)
{\displaystyle (B,b)}
et
(
C
,
c
)
{\displaystyle (C,c)}
et
b
+
c
=
1
{\displaystyle b+c=1}
.
1. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :
|
z
+
6
i
|
=
|
z
−
4
+
i
|
{\displaystyle |z+6\mathrm {i} |=|z-4+\mathrm {i} |}
.
2. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :
|
2
z
−
3
i
+
7
|
=
4
{\displaystyle |2z-3\mathrm {i} +7|=4}
.
3. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :
|
z
−
3
i
+
7
z
+
i
|
=
2
{\displaystyle \left|{\frac {z-3\mathrm {i} +7}{z+\mathrm {i} }}\right|=2}
.
Solution
1. Médiatrice de
[
(
0
,
−
6
)
,
(
4
,
−
1
)
]
{\displaystyle [(0,-6),(4,-1)]}
.
2. Cercle de centre
(
−
7
2
,
3
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {7}{2}},{\frac {3}{2}}\right)}
et de rayon
2
{\displaystyle 2}
.
3. Cercle de centre
(
7
3
,
−
7
3
)
{\displaystyle \left({\frac {7}{3}},-{\frac {7}{3}}\right)}
et de rayon
2
65
3
{\displaystyle {\frac {2{\sqrt {65}}}{3}}}
car
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(
x
+
7
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
4
(
x
2
+
(
y
+
1
)
2
)
⇔
(
x
−
7
3
)
2
+
(
y
+
7
3
)
2
=
260
9
{\displaystyle (x+7)^{2}+(y-3)^{2}=4(x^{2}+(y+1)^{2})\Leftrightarrow \left(x-{\frac {7}{3}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {7}{3}}\right)^{2}={\frac {260}{9}}}
.
Soient
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
et
C
{\displaystyle C}
les points d'affixes respectives :
z
A
=
3
{\displaystyle z_{A}=3}
,
z
B
=
5
+
7
i
2
{\displaystyle z_{B}={\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}}
et
z
C
=
−
1
−
i
2
{\displaystyle z_{C}={\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}}
.
1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de 2 cm ).
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
2. Calculer
|
z
B
−
z
A
|
{\displaystyle |z_{B}-z_{A}|}
,
|
z
A
−
z
C
|
{\displaystyle |z_{A}-z_{C}|}
et
|
z
C
−
z
B
|
{\displaystyle |z_{C}-z_{B}|}
.
3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
Solution
z
B
−
z
A
=
−
1
+
7
i
2
{\displaystyle z_{B}-z_{A}={\frac {-1+7\mathrm {i} }{2}}}
et
z
C
−
z
A
=
−
7
−
i
2
=
i
(
z
B
−
z
A
)
{\displaystyle z_{C}-z_{A}={\frac {-7-\mathrm {i} }{2}}=\mathrm {i} (z_{B}-z_{A})}
, donc ABC est rectangle et isocèle en A.
4. Déterminer l'affixe
z
I
{\displaystyle z_{I}}
du milieu I du segment [BC].
Solution
z
I
=
z
B
+
z
C
2
=
1
2
(
5
+
7
i
2
+
−
1
−
i
2
)
=
2
+
3
i
2
{\displaystyle z_{I}={\frac {z_{B}+z_{C}}{2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}+{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}\right)={\frac {2+3\mathrm {i} }{2}}}
.
5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.
Solution
D est (par exemple) l'image de I par la translation de vecteur
A
I
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AI}}}
. Son affixe est donc :
z
I
+
(
z
I
−
z
A
)
=
2
z
I
−
z
A
=
2
+
3
i
−
3
=
−
1
+
3
i
{\displaystyle z_{I}+(z_{I}-z_{A})=2z_{I}-z_{A}=2+3\mathrm {i} -3=-1+3\mathrm {i} }
.
On pose
z
A
=
3
+
3
i
{\displaystyle z_{A}=3+3\mathrm {i} }
et
z
B
=
3
−
3
i
{\displaystyle z_{B}=3-3\mathrm {i} }
.
1. Placer les points A et B d'affixes
z
A
{\displaystyle z_{A}}
et
z
B
{\displaystyle z_{B}}
dans un repère.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
2. Calculer les modules de zA et zB . Que peut-on en déduire sur le triangle
O
A
B
{\displaystyle OAB}
?
3. Calculer un argument de
z
A
{\displaystyle z_{A}}
, puis de
z
B
{\displaystyle z_{B}}
. Que peut-on en déduire sur l'angle
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
?
4. En déduire la nature du triangle OAB.
Solution
Le triangle OAB est isocèle rectangle en O. Plus précisément et plus directement :
i
z
B
=
z
A
{\displaystyle \mathrm {i} z_{B}=z_{A}}
.
On a quatre points A , B , C et D d'affixes respectives
z
A
=
8
{\displaystyle z_{A}=8}
,
z
B
=
8
i
{\displaystyle z_{B}=8\mathrm {i} }
,
z
C
=
z
A
(
12
−
32
i
)
{\displaystyle z_{C}=z_{A}\left(12-32\mathrm {i} \right)}
et
z
D
=
z
B
(
12
+
32
i
)
{\displaystyle z_{D}=z_{B}\left(12+32\mathrm {i} \right)}
.
1. Calculer le module et un argument de
z
A
{\displaystyle z_{A}}
, puis de
z
B
{\displaystyle z_{B}}
,
z
C
{\displaystyle z_{C}}
et
z
D
{\displaystyle z_{D}}
.
2. Démontrer que les points A , B , C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.
Soient A , B et C trois points distincts d'un cercle de centre O (le point d'affixe 0) et a , b , c leurs affixes respectives.
1. Déterminer l'affixe de leur isobarycentre G .
2. Démontrer que le point H d'affixe
h
=
a
+
b
+
c
{\displaystyle h=a+b+c}
est l'orthocentre du triangle ABC .
3. Montrer que les points O , G et H sont alignés.
Solution
1.
g
=
a
+
b
+
c
3
{\displaystyle g={\frac {a+b+c}{3}}}
.
2. Il suffit de montrer que H est sur la hauteur issue de C , c'est-à-dire que l'angle (AB,CH) est droit.
Pour cela, il faut et il suffit que
h
−
c
b
−
a
{\displaystyle {\frac {h-c}{b-a}}}
soit imaginaire pur.
h
−
c
b
−
a
=
b
+
a
b
−
a
=
(
b
+
a
)
(
b
¯
−
a
¯
)
|
b
−
a
|
2
=
a
b
¯
−
a
¯
b
|
b
−
a
|
2
=
2
i
Im
(
a
b
¯
)
|
b
−
a
|
2
{\displaystyle {\frac {h-c}{b-a}}={\frac {b+a}{b-a}}={\frac {(b+a)({\bar {b}}-{\bar {a}})}{\left|b-a\right|^{2}}}={\frac {a{\bar {b}}-{\bar {a}}b}{\left|b-a\right|^{2}}}={\frac {2\mathrm {i} \operatorname {Im} (a{\bar {b}})}{\left|b-a\right|^{2}}}}
.
3. Les trois points sont alignés car
O
H
→
=
3
O
G
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}}
.
Exercice 1-9 (Valeurs exactes de
cos
{\displaystyle \cos }
et
sin
{\displaystyle \sin }
) [ modifier | modifier le wikicode ]
On considère les points
A
0
{\displaystyle A_{0}}
et
A
1
{\displaystyle A_{1}}
d'affixes respectives
a
0
=
1
{\displaystyle a_{0}=1}
et
a
1
=
e
i
π
12
{\displaystyle a_{1}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}
, l'image
A
2
{\displaystyle A_{2}}
de
A
1
{\displaystyle A_{1}}
par la rotation de centre
O
{\displaystyle O}
et d'angle
π
12
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}
, et le milieu
I
{\displaystyle I}
du segment
[
A
0
A
2
]
{\displaystyle [A_{0}A_{2}]}
.
1. Donner les formes exponentielle et algébrique de l'affixe
a
2
{\displaystyle a_{2}}
de
A
2
{\displaystyle A_{2}}
.
2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe de
I
{\displaystyle I}
est
z
I
=
cos
π
12
e
i
π
12
{\displaystyle z_{I}=\cos {\frac {\pi }{12}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}
.
3. Montrer que les points
O
{\displaystyle O}
,
I
{\displaystyle I}
et
A
1
{\displaystyle A_{1}}
sont alignés.
4. Déterminer les valeurs exactes de
cos
π
12
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}}
et
sin
π
12
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}}
. Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que
8
+
4
3
=
(
6
+
2
)
2
{\displaystyle 8+4{\sqrt {3}}=({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})^{2}}
.