Probabilités conditionnelles/Formule des probabilités totales

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Système complet d'événements

Soient $A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\cdots ,\,A_{n}$, n événements d'un univers $\Omega$.

On dit que $A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\cdots ,\,A_{n}$ forment un système complet d'événements (parfois appelé système exhaustif d'événements) s'ils sont non vides, deux à deux incompatibles et si leur réunion est $\Omega$, ou si l'on préfère si « $A_{1}$ ou $A_{2}$ ou $A_{3}$ ou $\cdots$ ou $A_{n}$ » est l'événement certain.

Remarque

En théorie des ensembles, on dira que $A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\cdots ,\,A_{n}$ est une partition de $\Omega$.

De ce qui précède, nous pouvons déjà déduire :

$p(A_{1})+p(A_{2})+p(A_{3})+\cdots +p(A_{n})=1$.

Formule des probabilités totales

Nous allons, dans ce paragraphe, établir la formule des probabilités totales de deux manières différentes.

Approche ensembliste

Reprenons l'univers, vu plus haut, dans lequel nous avons défini un système complet d'événements et ajoutons-y un événement $B$ :

Nous voyons que $B$ est la réunion des intersections, disjointes deux à deux, de $B$ avec les différents événements $A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\cdots ,\,A_{n}$ puisque ces événements recouvrent $\Omega$ en ayant deux à deux une intersection vide. On peut donc écrire :

$p(B)=p(A_{1}\cap B)+p(A_{2}\cap B)+p(A_{3}\cap B)+\cdots +p(A_{n}\cap B)$.

En utilisant la formule des probabilités composées vue au chapitre précédent, on en déduit la formule des probabilités totales :

$p(B)=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(B)+p(A_{2})\times p_{A_{2}}(B)+p(A_{3})\times p_{A_{3}}(B)+\cdots +p(A_{n})\times p_{A_{n}}(B)$.

Approche utilisant les arbres

Une autre approche pour montrer la formule des probabilités totales est de considérer l'arbre suivant :

Dans cet arbre, les parcours des différentes branches pour réaliser les issues sont des événements incompatibles. Et l'on peut dire que l’événement $B$ est réalisé si et seulement si l'une des issues appartenant à $B$ est réalisée. La probabilité de l'événement $B$ est donc la somme des probabilités des issues réalisant $B$.

On a donc :

$p(B)=p((A_{1};B))+p((A_{2};B))+p((A_{3};B))+\cdots +p((A_{n};B))$

et puisque la probabilité de chaque issue est le produit des probabilités associées aux branches qu'il a fallu parcourir pour réaliser l'issue considérée, on a :

$p(B)=p(A_{1})\times p_{A_{1}}(B)+p(A_{2})\times p_{A_{2}}(B)+p(A_{3})\times p_{A_{3}}(B)+\cdots +p(A_{n})\times p_{A_{n}}(B)$,

qui est bien la formule des probabilités totales déjà établie au paragraphe précédent.

Formule de Bayes

Il ne faudrait pas croire que, lorsqu'on établit un arbre, les événements qui figurent à la première étape se déroulent nécessairement avant les événements de la seconde étape, ni croire que les événements de la seconde étape sont des conséquences physiques des événements de la première étape. On peut très bien imaginer à partir d'une expérience aléatoire décrite, par exemple, par l'arbre suivant :

une nouvelle expérience aléatoire qui consisterait à observer les événements se produisant à la seconde étape et étudier la probabilité que tel ou tel événement de la seconde étape résulte de tel ou tel événement de la première étape, ce qui abusivement revient à étudier la probabilité qu'un événement observé ait telle ou telle cause.

Par exemple, sur l'arbre précédent, nous voyons que l’événement $C$ peut résulter de l'événement $A$ ou de l'événement $B$. Supposons que l'on voit se produire l'événement $C$ sans savoir si dans l'arbre nous avons atteint l'événement $C$ en passant par l'événement $A$ ou en passant par l'événement $B$. On peut alors essayer de calculer la probabilité que l'on soit passé, par exemple, par $A$.

Cette probabilité est donnée par :

$P_{C}(A)={\frac {p(C\cap A)}{p(C)}}$.

puisque l'on sait que l'événement $C$ s'est produit et que l'on étudie la probabilité que l'événement $A$ se soit produit.

Nous allons donc essayer de trouver une formule permettant de calculer cette probabilité en fonction des probabilités associées aux branches de l'arbre ci-dessus.

On a donc :

$P_{C}(A)={\frac {p(C\cap A)}{p(C)}}={\frac {p(A\cap C)}{p(C)}}={\frac {p(A)\times p_{A}(C)}{p(A)\times p_{A}(C)+p(B)\times p_{B}(C)}}$.

On a utilisé la formule des probabilités composées pour calculer le numérateur et la formule des probabilités totales pour calculer le dénominateur.

La formule obtenue est correcte, mais nous aimerions obtenir une formule plus générale. Nous recommencerons donc ce calcul en considérant l'arbre :

Dans cet arbre, nous avons pour tout k compris entre 1 et n :

$P_{B}(A_{k})={\frac {p(B\cap A_{k})}{p(B)}}={\frac {p(A_{k}\cap B)}{p(B)}}={\frac {p(A_{k})\times p_{A_{k}}(B)}{p(A_{1})\times p_{A_{1}}(B)+p(A_{2})\times p_{A_{2}}(B)+p(A_{3})\times p_{A_{3}}(B)+\cdots +p(A_{n})\times p_{A_{n}}(B)}}$.

Nous retiendrons donc la formule :

$P_{B}(A_{k})={\frac {p(A_{k})\times p_{A_{k}}(B)}{p(A_{1})\times p_{A_{1}}(B)+p(A_{2})\times p_{A_{2}}(B)+p(A_{3})\times p_{A_{3}}(B)+\cdots +p(A_{n})\times p_{A_{n}}(B)}}$,

que l'on désigne sous le nom de formule de Bayes.

Renversement d'un arbre

Le contenu de ce paragraphe peut être considéré comme un exercice récapitulatif de ce chapitre.

Soit un arbre à deux étapes représentant une expérience aléatoire :

Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à observer les événements de la deuxième étape en premier, puis les événements de la première étape. Cette nouvelle expérience sera représentée par l'arbre :

Nous nous proposons alors de calculer les probabilités des différentes branches du second arbre connaissant les probabilités des branches du premier arbre.

Supposons que les probabilités du premier arbre sont :

Nous avons alors pour le second arbre :

$p(C)=p(A)\times p_{A}(C)+p(B)\times p_{B}(C)={\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{6}}+{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {5}{18}}$ ;

$p(D)=p(A)\times p_{A}(D)+p(B)\times p_{B}(D)={\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}$ ;

$p(E)=p(A)\times p_{A}(E)+p(B)\times p_{B}(E)={\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {7}{18}}$ ;

$p_{C}(A)={\frac {p(A\cap C)}{p(C)}}={\frac {{\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{6}}}{\frac {5}{18}}}={\frac {1}{5}}$ ;

$p_{C}(B)={\frac {p(B\cap C)}{p(C)}}={\frac {{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}}{\frac {5}{18}}}={\frac {4}{5}}$ ;

$p_{D}(A)={\frac {p(A\cap D)}{p(D)}}={\frac {{\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}={\frac {1}{3}}$ ;

$p_{D}(B)={\frac {p(B\cap D)}{p(D)}}={\frac {{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}={\frac {2}{3}}$ ;

$p_{E}(A)={\frac {p(A\cap E)}{p(E)}}={\frac {{\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{2}}}{\frac {7}{18}}}={\frac {3}{7}}$ ;

$p_{E}(B)={\frac {p(B\cap E)}{p(E)}}={\frac {{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{3}}}{\frac {7}{18}}}={\frac {4}{7}}$.

Nous obtenons donc l'arbre pondéré suivant :