Leçons de niveau 13

Probabilités conditionnelles/Formule des probabilités totales

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Formule des probabilités totales
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Chapitre no 3
Leçon : Probabilités conditionnelles
Chap. préc. :Arbres probabilistes
Chap. suiv. :Événements indépendants

Exercices :

Sur les probabilités totales
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Probabilités conditionnelles/Formule des probabilités totales
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Système complet d'événements[modifier | modifier le wikicode]

Soit , n événements d'un univers .

Système complet d'événements.png

On dit que forment un système complet d'événements (parfois appelé système exhaustif d'événements) s'ils sont non vides, deux à deux incompatibles et si leur réunion est , ou si l'on préfère si «  ou ou ou ou  » est l'événement certain.




De ce qui précède, nous pouvons déjà déduire :


.


Formule des probabilités totales[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Formule des probabilités totales ».

Nous allons, dans ce paragraphe, établir la formule des probabilités totales de deux manières différentes.

Approche ensembliste[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'univers, vu plus haut, dans lequel nous avons défini un système complet d'événements et ajoutons-y un événement  :

Probabilité totale.png

Nous voyons que est la réunion des intersections, disjointes deux à deux, de avec les différents événements puisque ces événements recouvrent en ayant deux à deux une intersection vide. On peut donc écrire :

.

En utilisant la formule des probabilités composées vue au chapitre précédent, on en déduit la formule des probabilités totales :


.


Approche utilisant les arbres[modifier | modifier le wikicode]

Une autre approche pour montrer la formule des probabilités totales est de considérer l'arbre suivant :

Demo proba totale.png

Dans cet arbre, les parcours des différentes branches pour réaliser les issues sont des événements incompatibles. Et l'on peut dire que l’événement est réalisé si et seulement si l'une des issues appartenant à est réalisée. La probabilité de l'événement est donc la somme des probabilités des issues réalisant .

On a donc :

et puisque la probabilité de chaque issue est le produit des probabilités associées au branches qu'il a fallu parcourir pour réaliser l'issue considérée, on a :


,


qui est bien la formule des probabilités totales déjà établie au paragraphe précédent.

Formule de Bayes[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème de Bayes ».

Il ne faudrait pas croire que, lorsqu'on établit un arbre, les événements qui figurent à la première étape se déroulent nécessairement avant les événements de la seconde étape ni croire que les événements de la seconde étape sont des conséquences physiques des événements de la première étape. On peut très bien imaginer à partir d'une expérience aléatoire décrite, par exemple, par l'arbre suivant :

Arbre deux étapes.png

une nouvelle expérience aléatoire qui consisterait à observer les événements se produisant à la seconde étape et étudier la probabilité que tel ou tel événement de la seconde étape résulte de tel ou tel événement de la première étape, ce qui abusivement revient à étudier la probabilité qu'un événement observé ait telle ou telle cause.

Par exemple, sur l'arbre précédent, nous voyons que l’événement peut résulter de l'événement ou de l'événement . Supposons que l'on voit se produire l'événement sans savoir si dans l'arbre nous avons atteint l'événement en passant par l'événement ou en passant par l'événement . On peut alors essayer de calculer la probabilité que l'on soit passé, par exemple, par .

Cette probabilité est donnée par :

.

puisque l'on sait que l'événement s'est produit et que l'on étudie la probabilité que l'événement se soit produit.

Nous allons donc essayer de trouver une formule permettant de calculer cette probabilité en fonction des probabilités associées aux branches de l'arbre ci-dessus.

On a donc :

.

On a utilisé la formule des probabilités composées pour calculer le numérateur et la formule des probabilités totales pour calculer le dénominateur.

La formule obtenue est correcte, mais nous aimerions obtenir une formule plus générale. Nous recommencerons donc ce calcul en considérant l'arbre :

Demo proba totale.png

Dans cet arbre, nous avons pour tout k compris entre 1 et n :

.

Nous retiendrons donc la formule :


,


que l'on désigne sous le nom de formule de Bayes.

Renversement d'un arbre[modifier | modifier le wikicode]

Le contenu de ce paragraphe peut être considéré comme un exercice récapitulatif de ce chapitre.

Soit un arbre à deux étapes représentant une expérience aléatoire :

Arbre deux étapes.png

Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à observer les événements de la deuxième étape en premier, puis les événements de la première étape. Cette nouvelle expérience sera représentée par l'arbre :

Arbre deux étapes inv.png

Nous nous proposons alors de calculer les probabilités des différentes branches du second arbre connaissant les probabilités des branches du premier arbre.

Supposons que les probabilités du premier arbre sont :

Arbre deux étapes pondéré.png

Nous avons alors pour le second arbre :

 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
.

Nous obtenons donc l'arbre pondéré suivant :

Arbre deux étapes inv pondéré.png