Leçons de niveau 13

Probabilités conditionnelles/Événements indépendants

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Événements indépendants
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Chapitre no 4
Leçon : Probabilités conditionnelles
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Probabilités conditionnelles/Événements indépendants
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Nous allons aborder, dans ce chapitre, la notion d'événements indépendants.

Premières considérations[modifier | modifier le wikicode]

Soit et deux événements. Dire que ces deux événements sont indépendants, c'est dire que la réalisation de l'un des deux n'influe pas sur la probabilité de réalisation de l'autre.

C'est dire que la réalisation de n'influe pas sur la probabilité que se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation .

C'est dire aussi que la réalisation de n'influe pas sur la probabilité que se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation .

Mais nous remarquons que :

D'une part :

et d'autre par :

Nous voyons que les deux relations d'indépendance entraînent la même relation :

De plus cette relation présente deux avantages :

  • Elle est symétrique vis à vis de et .
  • Elle est définie même si ou est nul (ce qui n'était pas le cas des relations de départ).


Définition[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu du premier paragraphe, nous poserons la définition suivante :




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Exemple.

On lance un dé et on considère les deux événements suivant :

est l'événement : Le numéro sorti est pair.

est l'événement : Le numéro sorti est un multiple de 3.

Montrer que ces deux événements sont indépendants.


Solution

Nous avons affaire à un univers comportant 6 événements élémentaires équiprobables. Par conséquent :

Comme il y a 3 événements élémentaires consistant en la sortie d'un numéro pair, on a :

Comme il y a 2 événements élémentaires consistant en la sortie d'un numéro multiple de trois, on a :

Il n'y a qu'un seul événement ou l'on voit apparaître un numéro à la fois pair et multiple de 3, c'est la sortie du 6. On a donc :

Comme :

on voit que :

Ce qui montre que les événements et sont indépendants.


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème