Leçons de niveau 13

Probabilités conditionnelles/Arbres probabilistes

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Arbres probabilistes
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Chapitre no 2
Leçon : Probabilités conditionnelles
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Formule des probabilités totales

Exercices :

Sur les arbres
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Ce chapitre étudie en détail les arbres probabilistes.

Description des arbres probabilistes[modifier | modifier le wikicode]

Un arbre est une représentation visuelle d'une suite d'événements qui s'enchaînent. Si nous représentons simplement les événements qui peuvent se présenter à chaque étape, nous dirons que nous avons affaire à un arbre des possibles. Si, de plus, sur chaque branche de l'arbre, nous rajoutons la probabilité que l'on a de parcourir cette branche à partir du nœud d'où part la branche, nous dirons que l'on a affaire à un arbre pondéré. La probabilité de réalisation d'un événement dépend de la réalisation des événements qui le précèdent. Nous voyons que l'on a donc bien affaire à des probabilités conditionnelles.


Par exemple, si l'on considère l'arbre pondéré suivant :

Arbre des possibles pondéré bis.png

Étudions l'événement

Nous voyons que l'événement a une probabilité de se produire à la première étape. S'il ne se produit pas à la première étape, il pourra éventuellement se produire à la deuxième étape dans deux situations différentes. Si à la première étape l'événement se produit, alors l'événement se produira de façon certaine. Si à la première étape l'événement se produit, alors l'événement se produira alors avec une probabilité de .


Étudions l'événement

Nous voyons que l'événement a une probabilité de se produire à la première étape. Il n'a aucune chance de se produire à la seconde étape. Il pourra toutefois se produire à la troisième étape avec une probabilité de , mais seulement si l'événement s'est produit à la première étape et si l'événement s'est produit à la seconde étape.


Étudions l'événement

Il est impossible de voir l'événement se produire à la première étape. On pourra éventuellement le voir se produire à la seconde étape avec une probabilité de mais seulement si l'événement s'est produit à la première étape. Par contre, il apparaîtra de façon certaine à la troisième étape si les événements et se sont respectivement produit à la première et à la seconde étape.


Probabilité d'une issue[modifier | modifier le wikicode]

Pour facilité le raisonnement, dans un premier temps, nous envisagerons un arbre dans lequel chaque événement n'est représenté qu'une seule fois :

Arbre des possibles pondéré.png

Supposons que l'on veuille exprimer la probabilité de l'issue .

Cette issue ne peut se produire que si l'événement s'est produit à la première étape, si l'événement s'est produit à la deuxième étape, si l'événement s'est produit à la troisième étape. La réalisation successive de ces trois événements constitue un parcours dans l'arbre que l'on désignera sous le nom de chemin.

Comme l'événement ne peut se produire qu'à la première étape, nous n'avons pas besoin de préciser qu'il s'est produit à la première étape. Il en est de même des événement et . Nous pouvons donc dire simplement que l’issue s'est réalisée si les événements , et se sont réalisés.

On aura donc :

30x-Checkmark.png

Remarque importante.

La formule que l'on vient de voir va nous permettre d'établir par la suite d'autres formules plus générales mais cette formule peut être fausse si l’on envisage des arbres comme :

Arbre des possibles pondéré ter.png

où les événements peuvent apparaître dans des circonstances différentes à des étapes différentes.

Par exemple, il serait faux d'écrire :

vu que les événements , et se produisent aussi lors de la réalisation de l'issue qui est différente de l'issues .


Arbres à deux étapes[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous allons étudier plus en détail les arbres à deux étapes.

Supposons donc une expérience aléatoire se produisant en deux étapes. À la première étape, deux événements et peuvent se produire. À la seconde étape, trois événements , , peuvent se produire dont les probabilités dépendent éventuellement des événements et .

Arbre deux étapes.png

Nous savons aussi, d'après le paragraphe précédent que :

Mais nous avons vu, au premier chapitre, que (formule des probabilités composées) :

Nous en déduisons :



Nous retiendrons que la probabilité de réalisation d'une issue, dans un arbre en deux étapes, est égale au produit des probabilités associées aux branches constituant le chemin qu'il a fallu parcourir pour réaliser cette issue.

Nous allons voir que ce résultat se généralise aux arbres quelconques.


Arbres à plus de deux étapes[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'arbre à trois étapes suivants :

Arbre des possibles.png

Par exemple, la probabilité de l'issue est donné par :

Si, dans la formule (vu au paragraphe précédent), on pose et , on obtient :

Mais nous avons

Nous obtenons donc :

Qui est la formule des probabilités composées pour trois ensembles qui nous montre que dans un arbre à trois étapes la probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités associées à toutes les branches du chemin qu'il a fallu parcourir pour atteindre cette issue.


Plus généralement, nous aurons le théorème suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


30x-Checkmark.png

Remarque importante.

Dans ce qui précède, nous ne devons pas perdre de vue que nous nous sommes placé dans le cas particulier des arbres dans lesquels chaque événement n'est représenté qu'une seule fois, et nous avons démontré la formule des probabilités composées dans ce cas particulier. Nous admettrons que cette formule reste vraie dans le cas général mais sa démonstration dépasse le cadre de cette leçon et sera abordée dans des leçons de niveau supérieur.


De ce qui précède, nous pouvons déduire que dans un arbre ou chaque événement n’apparaît qu'une fois, la probabilité de réalisation d'une issue est égale au produit des probabilités associées à toutes les branches du chemin qu'il a fallu parcourir pour réaliser l'issue considérée.

Pour généraliser cette affirmation aux arbres quelconques, nous pouvons pour chaque arbre inclure dans chaque événement une précision indiquant à quelle étape se produit l'événement.

Si, par exemple, nous avons affaire à une expérience consistant en la production de trois événements , , pouvant être représenté par un arbre en n étapes, nous poserons :

  • , L'événement s'est produit à la nième étape.
  • , L'événement s'est produit à la nième étape.
  • , L'événement s'est produit à la nième étape.

Nous voyons alors que même si, à priori, un événement pouvait apparaître à des étapes différentes, nous nous ramenons à un arbre où les raisonnements fait précédemment sont valables.