Phénomènes d'induction/Loi de Faraday

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Champ électromoteur

Champ électromoteur induit

Soit un fil conducteur en mouvement dans un champ magnétique ${\vec {B}}$. Alors tout point du conducteur est le siège d'un champ électromoteur ${\vec {E}}_{m}$ valant

${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

Faites ces exercices : Champ électromoteur.

Définition

La force électromotrice induite e le long d'une courbe orientée Γ vaut $e=\int _{\Gamma }{\vec {E}}_{m}.\mathrm {d} {\vec {l}}$

Loi de Faraday

Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps

Début d’un principe

Dispositif

On dispose d'une spire Γ mobile dans un champ magnétique ${\vec {B}}$ indépendant du temps.

On considère Γ aux instants t et t+dt'. On dispose également

• d'une surface S qui s'appuie sur Γ(t), orientée en concordance avec Γ(t), au travers de laquelle le flux de ${\vec {B}}$ vaut Ф
• d'une surface S' qui s'appuie sur Γ(t+dt), orientée en concordance avec Γ(t+dt), au travers de laquelle le flux de ${\vec {B}}$ vaut Ф'

Fin du principe

Un point courant P de Γ à l'instant t a subi une translation élémentaire ${\overrightarrow {{\rm {d}}P}}$ pour devenir P'.

Si ${\vec {B}}$ est indépendant du temps, ${\vec {A}}$ aussi et ${\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}$

${\begin{aligned}e&=\oint _{\Gamma }({\vec {v}}\wedge {\vec {B}}).\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\oint _{\Gamma }({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\vec {v}}).{\vec {B}}\\&=\oint _{\Gamma }{\frac {1}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\vec {v}}~{\rm {d}}t).{\vec {B}}\\&={\frac {1}{\mathrm {d} t}}\oint _{\Gamma }({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\overrightarrow {{\rm {d}}P}}).{\vec {B}}\end{aligned}}$

• La surface infinitésimale $\mathrm {d} ^{2}S_{c}~$ engendrée par ${\overrightarrow {{\rm {d}}l}}$ et ${\overrightarrow {{\rm {d}}P}}$ est appelée surface coupée élémentaire, ou parfois surface balayée élémentaire. Elle est orientée dans le sens de $\mathrm {d} {\vec {P}}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {d} l}}$.
• La réunion de toutes les surfaces coupées élémentaires forme la surface coupée $\mathrm {d} S_{c}~$. Elle forme une sorte de tube s'appuyant sur S et S'.
• Le flux de ${\vec {B}}$ à travers la surface coupée $\mathrm {d} S_{c}~$ s’appelle le flux coupé dФ_c.

${\begin{aligned}e&=-{\frac {1}{{\rm {d}}t}}\oint _{\Gamma }({\rm {d}}^{2}S_{c}~{\vec {n}}_{c}).{\vec {B}}\\&=-\oint _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi _{c}}{{\rm {d}}t}}\\&=-{\frac {{\rm {d}}\Phi _{c}}{{\rm {d}}t}}\end{aligned}}$
Comme $S\cup S'\cup \mathrm {d} S_{c}$ est une surface fermée, on a $~\Phi -\Phi '+\mathrm {d} \Phi _{c}=0$

Donc $~\mathrm {d} \Phi _{c}=\Phi -\Phi '=\mathrm {d} \Phi$

On a finalement $e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$

Cas d'un circuit fixe dans B(t)

Début d’un principe

Dispositif

On dispose d'une spire Γ orientée immobile dans un champ magnétique ${\vec {B}}(t)$. On dispose également d'une surface Σ qui s'appuie sur Γ, orientée en concordance avec Γ, au travers de laquelle le flux de ${\vec {B}}$ vaut Ф.

Fin du principe

Pour un circuit fixe, ${\vec {v}}={\vec {0}}$ donc ${\vec {E}}_{m}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

${\begin{aligned}e&=-\oint _{\Gamma }{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\oint _{\Gamma }{\vec {A}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int _{\Sigma }{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int _{\Sigma }{\vec {B}}.{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\right)\\&=-{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-{\frac {{\rm {d}}\Phi }{{\rm {d}}t}}\end{aligned}}$

Cas général

Faites ces exercices : Phénomènes d'induction.

Il est absolument fondamental de connaître et savoir correctement appliquer ce résultat. La méthode d'application est détaillée dans les exercices.

Début d’un théorème

Loi de Faraday

La force électromotrice induite $e(t)$ dans un circuit filiforme fermé $({\mathcal {C}})$ est :

$e(t)=-{\frac {{\rm {d}}\Phi }{{\rm {d}}t}}$ avec $\Phi (t)=\iint _{S}{\vec {B}}.{\vec {\rm {dS}}}$.

La force électromotrice $e(t)$ est orienté comme le circuit et $\Phi (t)$ est défini en accord avec l'orientation de la surface $S$.

Fin du théorème