Phénomènes d'induction/Exercices/Phénomènes d'induction

Début d’un principe

Application de la loi de Faraday

Pour appliquer correctement la loi de Faraday, il faut procéder en plusieurs étapes pour ne pas faire d'erreurs (en particulier de signe).

• Définir le contour du circuit étudié et vérifier qu’il est fermé.
• Orienter les courants et les forces électromotrices dans le circuit
• Définir une surface s'appuyant sur le contour du circuit et l'orienter

La meilleure solution pour éviter les erreurs est, quand c’est possible :

• prendre des orientations de force électromotrice et de courant identiques, si possible orientés en concordance avec un vecteur de la base de travail
• Orienter la surface en concordance avec i et e

Enfin, faire un dessin sur lequel on reporte toutes ces informations est plus que conseillé.

Fin du principe

Quantité d'électricité

Un solénoïde infiniment long comporte n spires carrées de côté 2a par unité de longueur, chaque spire étant parcourue par une intensité I. Soit Γ une spire circulaire coaxiale au solénoïde, conductrice, de résistance R.

1. À l'instant t=0, on supprime l'intensité I. Calculer la quantité d'électricité totale qui prend naissance dans la spire. On supposera négligeable l'induction propre de la spire.
2. À l'instant t=0, on fait tourner la spire de telle sorte que son axe soit à 90° de l’axe du solénoïde. Même question.

Solution

1. À l'instant t=0, on supprime l'intensité I. Calculer la quantité d'électricité totale qui prend naissance dans la spire.

• En un point M à intérieur au solénoïde infini, le champ magnétostatique ${\vec {B}}_{s}$ endengré par le solénoïde vaut ${\vec {B}}_{s}(M)=\mu _{0}In{\vec {u}}_{z}$ ( voir le cours de magnétostatique pour avoir le détail du calcul).
• On oriente Γ en concordance avec ${\vec {u}}_{z}$. On appuie alors sur Γ une surface Σ, orientée en concordance avec Γ.
• Le flux de ${\vec {B}}_{s}$ à travers Σ vaut alors $\Phi _{s}=\int _{\Sigma }{\vec {B}}_{s}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=\mu _{0}In\pi a^{2}$
• Lorsqu'on supprime l'intensité I, du fait de la présence d'éléments inductifs, la coupure n’est pas « nette ». On exprime la variation du flux en fonction de la variation de l'intensité : $\mathrm {d} \Phi _{s}=\mu _{0}n\pi a^{2}~\mathrm {d} I$.
• On cherche alore à appliquer la loi de Faraday : la spire circulaire est un circuit fermé : il y prend naissance une force électromotrice $e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{s}}{\mathrm {d} t}}=-\mu _{0}n\pi a^{2}{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}$
• La spire admet une résistance R. On peut lui appliquer la loi d'Ohm : e=Ri.
• On combine alors les deux équations : $Ri=-\mu _{0}n\pi a^{2}{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}$
• Par définition, $i={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$ donc l'équation précédente devient $R\mathrm {d} q=-\mu _{0}n\pi a^{2}~\mathrm {d} I$.
• Il reste à intégrer sur l'évènement : $\int _{\textrm {initial}}^{\textrm {final}}\mathrm {d} q=-\int _{\textrm {initial}}^{\textrm {final}}{\frac {\mu _{0}n\pi a^{2}}{R}}\mathrm {d} I$

Finalement, la quantité d'électricité qui prend naissance dans la spire est $Q={\frac {\mu _{0}nI\pi a^{2}}{R}}$

2. À l'instant t=0, on fait tourner la spire de telle sorte que son axe soit à 90° de l’axe du solénoïde. Même question.

Même si la cause est différente, le flux de ${\vec {B}}_{s}$ à travers Σ passe aussi de $\mu _{0}In\pi ~a^{2}$ à 0. La quantité d'électricité qui prend naissance dans la spire est alors la même.

On trouve alors sans calcul supplémentaire $Q={\frac {\mu _{0}nI\pi a^{2}}{R}}$

 

Tige sur deux rails

Soient deux rails rigides, parallèles, distants de a, faisant un angle $\alpha ~$ avec le plan horizontal, conducteurs, de résistance négligeable, baignant dans un champ magnétique uniforme $\scriptstyle {\vec {B}}$ vertical. Les rails sont fermés à une extrémité par une résistance R. Un tige conductrice F de résistance négligeable, de masse m peut glisser sans frottement sur les rails en restant perpendiculaire aux rails.

	1. On communique à F une vitesse constante v. Calculer : la force électromotrice d'induction dans la tige et le courant qui parcourt le circuit la puissance mécanique ${\mathcal {P}}$ des forces électromagnétiques s'exerçant sur F On pourra poser CD=x
	2. Reprendre la question précédente si on insère en plus dans le circuit un générateur de force électromotrice constante E. On étudiera la courbe ${\mathcal {P}}=f(v)$ en l'explicitant
	3. À présent, α est quelconque. Étudier le mouvement de F sous l'action de son poids et des forces magnétiques induites. On posera $\lambda ={\frac {(aB\cos(\alpha ))^{2}}{mR}}$ et on supposera la vitesse initiale de F nulle.

Solution de la question 1

Question 1.1 : Calculer la force électromotrice induite dans la tige et le courant qui parcourt le circuit

Le circuit de courant ABCD est une spire déformée dans le champ $\scriptstyle {\vec {B}}$. Comme c’est un circuit fermé, on va pouvoir lui appliquer la loi de Faraday.

• On oriente la surface de la spire ABCD en concordance avec ${\vec {u}}_{z}$
• D'après la loi de Faraday, la spire est le siège d'une force électromotrice $e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$
• On écrit l’expression de Ф : $\Phi =\int _{\rm {ABCD}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=axB$
• On dérive : ${\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=aB{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=avB$
• L'application de la loi d'Ohm donne i.

On obtient ${\begin{cases}e=-avB\\i=-\displaystyle {\frac {avB}{R}}\end{cases}}$

Question 1.2 : Calculer la puissance mécanique des forces électromagnétiques s'exerçant sur F

• On calcule la force qui s'exerce sur le fil F.
  • Sur une longueur élémentaire de fil $\scriptstyle \mathrm {d} {\vec {l}}$ : $\mathrm {d} {\vec {F}}=i\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {B}}$
  • Sur tout le fil : ${\vec {F}}=i(-a{\vec {u}}_{y})\wedge (B{\vec {u}}_{z})=-aiB{\vec {u}}_{x}$
• La puissance de cette force vaut ${\mathcal {P}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=-aiBv$

La puissance de ${\vec {F}}$ est alors ${\mathcal {P}}=-{\frac {a^{2}v^{2}B^{2}}{R}}$. Les forces d'induction sont donc résistantes.

 

Solution de la question 2

Question 2.1 : Calculer la force électromotrice induite dans la tige et le courant qui parcourt le circuit

La loi de Faraday est toujours valable sans aucun changement. L'application de la loi d'Ohm donne alors i.

On obtient ${\begin{cases}e=-avB\\i=\displaystyle {\frac {E-avB}{R}}\end{cases}}$

Question 2.2 : Calculer la puissance mécanique des forces électromagnétiques s'exerçant sur F

• La force qui s'exerce sur tout le fil vaut toujours ${\vec {F}}-aiB{\vec {u}}_{x}$.
• La puissance de cette force vaut ${\mathcal {P}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}=-aiBv$

La puissance des forces d'induction vaut alors ${\mathcal {P}}={\frac {avB(E-avB)}{R}}$

• Si $v\in \left[0;{\frac {E}{aB}}\right]$, ${\mathcal {P}}\geq 0$ donc les forces d'induction sont motrices
• Sinon, ${\mathcal {P}}\leq 0$ et les forces d'induction sont résistantes

 

Solution de la question 3

Question 3 : Étudier le mouvement de F sous l'action de son poids et des forces magnétiques induites.

On définit une nouvelle base $({\vec {u}}_{X},{\vec {u}}_{Y},{\vec {u}}_{Z})$ dans laquelle les rails sont dans la direction ${\vec {u}}_{X}$ et dans le plan $({\vec {u}}_{X},{\vec {u}}_{Y})$.

On considère le système Σ={F} en mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen, soumis à :

• ${\vec {F}}$, force de Laplace
• ${\vec {N}}_{A}=N_{A}{\vec {u}}_{Z}$ et ${\vec {N}}_{D}=N_{D}{\vec {u}}_{Z}$, réactions normales des rails en A et D
• ${\vec {P}}=m{\vec {g}}$, son poids

Pour déterminer $\scriptstyle {\vec {F}}$, on a besoin de l’expression de i. Pour trouver i, on va appliquer la loi de Faraday à la spire de courant, puis la loi d'Ohm.

Le circuit de courant ABCD est une spire déformée dans le champ $\scriptstyle {\vec {B}}$. Comme c’est un circuit fermé, on va pouvoir lui appliquer la loi de Faraday.

• On oriente la surface de la spire ABCD en concordance avec ${\vec {u}}_{Z}$
• D'après la loi de Faraday, la spire est le siège d'une force électromotrice $e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$
• On écrit l’expression de Ф : $\Phi =\int _{\rm {ABCD}}{\vec {B}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=aXB\cos(\alpha )$
• On dérive : ${\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=aB{\frac {\mathrm {d} X}{\mathrm {d} t}}=avB\cos(\alpha )$
• On en déduit la force électromotrice $e=-avB\cos(\alpha )$, d'où le courant $i=-{\frac {avB\cos(\alpha )}{R}}$

On calcule la force de Laplace s'exerçant sur F :

${\begin{aligned}{\vec {F}}&=i(a{\vec {u}}_{Y})\wedge (B\cos(\alpha ){\vec {u}}_{Z}-B\sin(\alpha ){\vec {u}}_{X})\\&=iaB(\cos(\alpha ){\vec {u}}_{X}+\sin(\alpha ){\vec {u}}_{Z})\\\end{aligned}}$

On applique le principe fondamental de la dynamique à Σ : $m{\vec {\gamma }}={\vec {N}}_{A}+{\vec {N}}_{D}+{\vec {P}}+{\vec {F}}$

En projection suivant ${\vec {u}}_{X}$ : $m\gamma _{X}=iaB\cos(\alpha )+mg\sin(\alpha )$, d'où l'équation différentielle du premier ordre ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}+{\frac {a^{2}B^{2}\cos ^{2}(\alpha )}{mR}}v=g\sin(\alpha )$

En utilisant la définition de λ, l'équation du mouvement devient ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}+\lambda v=g\sin(\alpha )$

Au final, $v(t)={\frac {g}{\lambda }}\sin(\alpha )(1-e^{-\lambda t})$