Phénomènes d'induction/Induction mutuelle, induction propre

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Induction propre

Début d’un principe

Dispositif

On dispose d'une spire conductrice Γ orientée, parcourue par un courant i et sur laquelle s'appuie une surface Σ orientée en concordance avec Γ.

Fin du principe

Γ crée un champ magnétique ${\vec {B}}$. Le flux de ${\vec {B}}$ à travers Σ vaut $\Phi =\int _{\Sigma }{\vec {B}}(M)\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}$

Définition

On montre que $\Phi =i~L$, où L est un coefficient ne dépendant que de la géométrie du circuit. L s’appelle l'induction propre du circuit. Elle s'exprime en henry (H)

Induction mutuelle

Début d’un principe

Dispositif

On dispose de deux spires conductrices Γ₁ et Γ₂, orientées.

• Γ₁ est parcourue par un courant i₁ orienté dans le même sens que Γ₁. De plus, on prend une surface Σ₁ s'appuyant sur Γ₁, orientée en concordance avec Γ₁.
• Γ₂ est parcourue par un courant i₂ orienté dans le même sens que Γ₂. De plus, on prend une surface Σ₂ s'appuyant sur Γ₂, orientée en concordance avec Γ₂.

Fin du principe

• $\Gamma _{1}$ crée un champ magnétique ${\vec {B}}_{1}$, dont certaines lignes de champ vont traverser Σ₂. Le flux de ${\vec {B}}_{1}$ à travers Σ₂ vaut alors :

${\begin{aligned}\Phi _{1\rightarrow 2}&=\int _{\Sigma _{2}}{\vec {B}}_{1}(M_{2})\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\\&=\int _{\Sigma _{2}}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}_{1})(M_{2})\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\\&=\oint _{\Gamma _{2}}{\vec {A}}_{1}(M_{2})\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}l_{2}}}\\&=\oint _{\Gamma _{2}}\left(\oint _{\Gamma _{1}}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {i_{1}{\overrightarrow {{\rm {d}}l_{1}}}}{P_{1}M_{2}}}\right)\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}l_{2}}}\\&=i_{1}~\oint _{\Gamma _{2}}\left(\oint _{\Gamma _{1}}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\overrightarrow {{\rm {d}}l_{1}}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}l_{2}}}}{P_{1}M_{2}}}\right)\end{aligned}}$

En posant $M_{1\rightarrow 2}=\oint _{\Gamma _{2}}\left(\oint _{\Gamma _{1}}{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\overrightarrow {{\rm {d}}l_{1}}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}l_{2}}}}{P_{1}M_{2}}}\right)$, coefficient qui ne dépend que de la géométrie du système, on obtient $\Phi _{1\rightarrow 2}=i_{1}~M_{1\rightarrow 2}$

• On calcule de même $\Phi _{2\rightarrow 1}=\int _{\Sigma _{1}}{\vec {B}}_{2}(M_{1})\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}$. On obtient par un calcul analogue $\Phi _{2\rightarrow 1}=i_{2}~M_{2\rightarrow 1}$.
• On remarque au cours du calcul que $M_{1\rightarrow 2}=M_{2\rightarrow 1}$

Voir les exercices sur : Induction mutuelle, induction propre.

Définition

On pose $M=M_{1\rightarrow 2}=M_{2\rightarrow 1}$ le coefficient de mutuelle induction, qui s'exprime en henry (H).

On a alors ${\begin{cases}\Phi _{1\rightarrow 2}=Mi_{1}\\\Phi _{2\rightarrow 1}=Mi_{2}\end{cases}}$

Matrice d'induction

Début d’un principe

Dispositif

On dispose de deux spires conductrices Γ₁ et Γ₂, orientées.

• Γ₁ est parcourue par un courant i₁ orienté dans le même sens que Γ₁. De plus, on prend une surface Σ₁ s'appuyant sur Γ₁, orientée en concordance avec Γ₁.
• Γ₂ est parcourue par un courant i₂ orienté dans le même sens que Γ₂. De plus, on prend une surface Σ₂ s'appuyant sur Γ₂, orientée en concordance avec Γ₂
• Γ₁ a une induction propre L₁
• Γ₂ a une induction propre L₂
• Le coefficient de mutuelle induction du système (Γ₁, Γ₂) vaut M

Fin du principe

• Le flux du champ magnétique total à travers Σ₁ vaut Φ₁
• Le flux du champ magnétique total à travers Σ₂ vaut Φ₂

On a: ${\begin{cases}\Phi _{1}=L_{1}i_{1}+Mi_{2}\\\Phi _{2}=L_{2}i_{2}+Mi_{1}\end{cases}}$

On peut écrire ces relations sous forme matricielle : ${\begin{pmatrix}\Phi _{1}\\\Phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}&M\\M&L_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\end{pmatrix}}$

Définition

La matrice ${\begin{pmatrix}L_{1}&M\\M&L_{2}\end{pmatrix}}$ s’appelle matrice d'induction du circuit.

Remarque

• L₁>0 et L₂>0
• Le signe de M dépend des orientations relatives des circuits.
• |M|<L₁ et |M|<L₂

Définition

On définit le coefficient de couplage du circuit $k^{2}={\frac {M^{2}}{L_{1}L_{2}}}$