Phénomènes d'induction/Induction mutuelle, induction propre

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Induction propre

Début d’un principe

Dispositif

On dispose d'une spire conductrice Γ orientée, parcourue par un courant i et sur laquelle s'appuie une surface Σ orientée en concordance avec Γ.

Fin du principe

Γ crée un champ magnétique $\overrightarrow{B}$. Le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers Σ vaut $\mathrm{\Phi }={\int }_{\mathrm{\Sigma }}\overrightarrow{B}(M)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$

Définition

On montre que $\mathrm{\Phi }=iL$, où L est un coefficient ne dépendant que de la géométrie du circuit. L s’appelle l'induction propre du circuit. Elle s'exprime en henry (H)

Induction mutuelle

Début d’un principe

Dispositif

On dispose de deux spires conductrices Γ₁ et Γ₂, orientées.

• Γ₁ est parcourue par un courant i₁ orienté dans le même sens que Γ₁. De plus, on prend une surface Σ₁ s'appuyant sur Γ₁, orientée en concordance avec Γ₁.
• Γ₂ est parcourue par un courant i₂ orienté dans le même sens que Γ₂. De plus, on prend une surface Σ₂ s'appuyant sur Γ₂, orientée en concordance avec Γ₂.

Fin du principe

• ${\Gamma }_1$ crée un champ magnétique ${\overrightarrow{B}}_1$, dont certaines lignes de champ vont traverser Σ₂. Le flux de ${\overrightarrow{B}}_1$ à travers Σ₂ vaut alors :

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_{1\to 2}& ={\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_2}{\overrightarrow{B}}_1(M_2)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}\\ & ={\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_2}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}({\overrightarrow{A}}_1)(M_2)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}\\ & ={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}{\overrightarrow{A}}_1(M_2)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}\\ & ={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\left({\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{i_1\overrightarrow{\mathrm{d}{l}_1}}{P_1{M}_2}\right)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}\\ & =i_1{\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\left({\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{\mathrm{d}{l}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}}{P_1{M}_2}\right)\end{array}$

En posant $M_{1\to 2}={\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\left({\oint }_{{\mathrm{\Gamma }}_1}\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{\overrightarrow{\mathrm{d}{l}_1}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}{l}_2}}{P_1{M}_2}\right)$, coefficient qui ne dépend que de la géométrie du système, on obtient ${\mathrm{\Phi }}_{1\to 2}=i_1{M}_{1\to 2}$

• On calcule de même ${\mathrm{\Phi }}_{2\to 1}={\int }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}{\overrightarrow{B}}_2(M_1)\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}$. On obtient par un calcul analogue ${\mathrm{\Phi }}_{2\to 1}=i_2{M}_{2\to 1}$.
• On remarque au cours du calcul que $M_{1\to 2}=M_{2\to 1}$

Faites ces exercices : Induction mutuelle, induction propre.

Définition

On pose $M=M_{1\to 2}=M_{2\to 1}$ le coefficient de mutuelle induction, qui s'exprime en henry (H).

On a alors $\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_{1\to 2}=M{i}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_{2\to 1}=M{i}_2\end{array}$

Matrice d'induction

Début d’un principe

Dispositif

On dispose de deux spires conductrices Γ₁ et Γ₂, orientées.

• Γ₁ est parcourue par un courant i₁ orienté dans le même sens que Γ₁. De plus, on prend une surface Σ₁ s'appuyant sur Γ₁, orientée en concordance avec Γ₁.
• Γ₂ est parcourue par un courant i₂ orienté dans le même sens que Γ₂. De plus, on prend une surface Σ₂ s'appuyant sur Γ₂, orientée en concordance avec Γ₂
• Γ₁ a une induction propre L₁
• Γ₂ a une induction propre L₂
• Le coefficient de mutuelle induction du système (Γ₁, Γ₂) vaut M

Fin du principe

• Le flux du champ magnétique total à travers Σ₁ vaut Φ₁
• Le flux du champ magnétique total à travers Σ₂ vaut Φ₂

On a: $\{\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1=L_1{i}_1+M{i}_2\\ {\mathrm{\Phi }}_2=L_2{i}_2+M{i}_1\end{array}$

On peut écrire ces relations sous forme matricielle : $\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_1\\ {\mathrm{\Phi }}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_1& M\\ M& L_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right)$

Définition

La matrice $\left(\begin{array}{cc}{L}_1& M\\ M& L_2\end{array}\right)$ s’appelle matrice d'induction du circuit.

Remarque

• L₁>0 et L₂>0
• Le signe de M dépend des orientations relatives des circuits.
• |M|<L₁ et |M|<L₂

Définition

On définit le coefficient de couplage du circuit $k^2=\frac{M^2}{L_1{L}_2}$