Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

**Théorème de Fourier**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Différentielle d'une fonction d'une variable
Chap. suiv. :	Fonction de plusieurs variables indépendantes

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Théorème de Fourier
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Énoncé du théorème de Fourier

Théorème de Fourier (admis)

Toute fonction périodique $s (t)$ , de fréquence $f$ , est développable en série de Fourier^[1], c'est-à-dire qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences $f_{n} = n f, n \in ℕ$ , appelées « harmoniques de rang $n$ »^[2], le rang $n = 0$ correspondant à la composante continue^[3] et le rang $n = 1$ à l'harmonique fondamental.

Premier développement en série de Fourier

1^er développement en série de Fourier (admis)

«

s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \cos (2 π f_{n} t) + B_{n} \sin (2 π f_{n} t)]}

» avec «

f_{n} = n f, n \in ℕ^{*}

»,
«

A_{0}

étant l'éventuelle composante continue »^[3],
«

A_{n} \cos (2 π f_{n} t)

et

B_{n} \sin (2 π f_{n} t)

les harmoniques respectivement pair et impair de rang

n

».

Le calcul des cœfficients est un complément, il n'est donc pas exigible :

Calcul de la composante continue^[3] : « $A_{0} = ⟨ s (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) d t$ »^[4].

         Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) ⟩$ »^[4], laquelle est égale à
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire à la somme $($ infinie $)$ des moyennes de chaque harmonique
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend soit « $⟨ A_{0} ⟩ + \sum_{n = 1}^{\infty} [⟨ A_{n} \cos (2 π n f t) ⟩ + ⟨ B_{n} \sin (2 π n f t) ⟩]$ »^[4] ;
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles »^[5], il reste, à droite,
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes la moyenne de l'harmonique de rang zéro $($ c'est-à-dire de la composante continue $)$ ^[3] et
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, comme cet harmonique est une constante, il reste « $⟨ A_{0} ⟩ = A_{0}$ » C.Q.F.D^[6].

Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\underline{n}$ non nul : « $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩ = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) \cos (2 π n f t) d t$ »^[4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, « on multiplie les deux membres par $\cos (2 π n f t)$ » et
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ »^[4], égale à
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire,
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $($ infinie $)$
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif^[7]
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : « $⟨ A_{0} \cos (2 π n f t) ⟩ + \sum_{k = 1}^{\infty} [⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩ + ⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩]$ »^[4] ;
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « $⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ »^[8],
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, « $⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ » c'est-à-dire « $⟨ A_{n} \cos^{2} (2 π n f t) ⟩$ » ou,
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant $\cos^{2} (2 π n f t) = \frac{1 + \cos (4 π n f t)}{2}$ ,
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $⟨ \frac{A_{n}}{2} ⟩ + ⟨ \frac{A_{n}}{2} \cos (4 π n f t) ⟩$ » soit, « la 2^nde moyenne étant nulle »^[9],
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $⟨ \frac{A_{n}}{2} ⟩ = \frac{A_{n}}{2}$ » C.Q.F.D^[6].^,^[10].

Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\underline{n}$ non nul : « $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩ = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} s (t) \sin (2 π n f t) d t$ »^[4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, « on multiplie les deux membres par $\sin (2 π n f t)$ » et
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ »^[4], égale à
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire,
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $($ infinie $)$
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif^[7]
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : « $⟨ A_{0} \sin (2 π n f t) ⟩ + \sum_{k = 1}^{\infty} [⟨ A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩ + ⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩]$ »^[4] ;
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « $⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ »^[11],
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, « $⟨ B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) ⟩ avec k = n$ » c'est-à-dire « $⟨ B_{n} \sin^{2} (2 π n f t) ⟩$ » ou,
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant $\sin^{2} (2 π n f t) = \frac{1 - \cos (4 π n f t)}{2}$ ,
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $⟨ \frac{B_{n}}{2} ⟩ - ⟨ \frac{B_{n}}{2} \cos (4 π n f t) ⟩$ » soit, « la 2^nde moyenne étant nulle »^[9],
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $n$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $⟨ \frac{B_{n}}{2} ⟩ = \frac{B_{n}}{2}$ » C.Q.F.D^[6].^,^[12].

Deuxième développement en série de Fourier

2^ème développement en série de Fourier (admis)

«

s (t) = C_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} [C_{n} \cos (2 π f_{n} t + φ_{n})]

» avec «

f_{n} = n f, n \in ℕ^{*}

»,
«

C_{0}

étant l'éventuelle composante continue »^[3],
«

C_{n} \cos (2 π f_{n} t + φ_{n})

l'harmonique de rang

n

».

Remarque

L'avantage de ce 2^ème développement en série de Fourier^[1] par rapport au 1^er est qu'il permet d'obtenir directement l'« amplitude de l'harmonique de rang $n$ par $| C_{n} |$ »
alors qu'avec le 1^er il serait nécessaire de « calculer $\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}$ pour obtenir l'amplitude ».

Passage du premier au second développement en série de Fourier

Les deux développements en série de Fourier^[1] précédemment introduits devant être identiques $\forall t$ on en déduit $∙$ « $C_{0} = A_{0}$ »,
Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques $\forall t$ on en déduit $∙$ « $C_{n} \cos (2 π n f t + φ_{n}) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t) \forall t$ » ;

le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer $C_{n}$ et $φ_{n}$ connaissant $A_{n}$ et $B_{n}$ » :

     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang $n$ « $s_{n} (t) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t)$ »,
     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : on divise $s_{n} (t)$ par $\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}$ $\Rightarrow$ $\frac{s_{n} (t)}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = [\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} \cos (2 π n f t) + \frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} \sin (2 π n f t)]$ ,
     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : puis on définit « $φ_{n}$ par ${\begin{matrix} \frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = \cos (φ_{n}) \\ \frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = - \sin (φ_{n}) \end{matrix}$ »^[13], d'où la réécriture de $\frac{s_{n} (t)}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ selon
     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : « $\frac{s_{n} (t)}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}} = [\cos (φ_{n}) \cos (2 π n f t) - \sin (φ_{n}) \sin (2 π n f t)] = \cos (2 π n f t + φ_{n})$ » soit finalement
     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : « $s_{n} (t) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t) = \sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}} \cos (2 π n f t + φ_{n})$ »
     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : « $s_{n} (t) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t)$ $= C_{n} \cos (2 π n f t + φ_{n})$ » d'où « $C_{n} = \sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}$ »^[14] et « $φ_{n}$
     Établissement du lien permettant d'obtenir $(C_{n}, φ_{n})$ à partir de $(A_{n}, B_{n})$ : « $s_{n} (t) = A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t) = C_{n} \cos (2 π n f t + φ_{n})$ » tel que ${\begin{matrix} \cos (φ_{n}) = \frac{A_{n}}{C_{n}} \\ \sin (φ_{n}) = - \frac{B_{n}}{C_{n}} \end{matrix}}$ »^[15].

Troisième développement en série de Fourier

3^ème développement en série de Fourier (admis)

«

s (t) = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]

» avec
«

{\underline{C^{'}}}_{0} = {C^{'}}_{0} \in ℝ

l'éventuelle composante continue »^[3] et
«

{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t) + {\underline{C^{'}}}_{(- p)} \exp (- i 2 π p f t), p \in ℕ^{*}

l'harmonique de rang

p (> 0)

»^[16].

Ce 3^ème développement en série de Fourier^[1] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite $($ sauf avis contraire $)$ ;
Ce 3^ème développement en série de Fourier il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients ${\underline{C^{'}}}_{p} p \in ℤ$ ^[17] :

Calcul du cœfficient ${\underline{C^{'}}}_{p} p \in ℤ$ : « ${\underline{C^{'}}}_{p} = ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) \exp (- i 2 π p f t) d t$ »^[4].

     Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, on multiplie le 3^ème développement en série de Fourier^[1] par « $\exp (- i 2 π p f t)$ » et
         Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ »^[4], égale à
         Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire
         Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la somme $($ infinie $)$ des moyennes de ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t]$
     Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : « $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p} ⟩ + \sum_{p^{'} \neq p}^{- \infty à + \infty} ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] ⟩$ »^[4] ;
     Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : or « les moyennes pour $p^{'}$ fixé $\neq p$ sont nulles » ${$ « moyenne $= ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] d t$
     Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : or « les moyennes pour $p^{'}$ fixé $\neq p$ sont nulles » ${$ « moyenne $= ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p^{'}} \exp [i 2 π (p^{'} - p) f t] ⟩$ $= \frac{{\underline{C^{'}}}_{p^{'}}}{T} {[\frac{\exp [i 2 π (p^{'} - p) f t]}{i 2 π (p^{'} - p) f}]}_{0}^{T} = 0$ »^[18] $}$
        Calcul du cœfficient ${C^{'}}_{p} p \in ℤ$ : Justification : or « les moyennes pour $p^{'}$ fixé $\neq p$ sont nulles » on en déduit « $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = ⟨ {\underline{C^{'}}}_{p} ⟩ = {\underline{C^{'}}}_{p}$ »^[19] C.Q.F.D^[6].

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

     Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier^[1] devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « ${C^{'}}_{0} = C_{0} (= A_{0})$ »,
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « ${\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t) + {\underline{C^{'}}}_{(- p)} \exp (- i 2 π p f t) = C_{p} \cos (2 π p f t + φ_{p}) \forall t$ » ou,
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « avec la formule d'Euler^[20] relative au cosinus^[21], « ${\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t) + {\underline{C^{'}}}_{(- p)} \exp (- i 2 π p f t)$
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « $= \frac{C_{p}}{2} \exp [i (2 π p f t + φ_{p})] + \frac{C_{p}}{2} \exp [- i (2 π p f t + φ_{p})] \forall t$ » soit,
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « par identification des cœfficients de $\exp (i 2 π p f t)$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{C_{p}}{2} \exp (i φ_{p}), p \in ℕ^{*}$ » et
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « par identification des cœfficients de $\exp (- i 2 π p f t)$ , « ${\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{C_{p}}{2} \exp (- i φ_{p}), p \in ℕ^{*}$ » soit
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « finalement, avec $p \in ℕ^{*}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{C_{p}}{2} \exp (i φ_{p})$ » et, avec $p^{'} = - p$
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « finalement, avec $p \in ℕ^{*}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}} = {\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{C_{p}}{2} \exp (- i φ_{p})$ » $\Rightarrow$ « ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}} = {[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*}$ »
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ $∙$ « les cœfficients ${\underline{C^{'}}}_{p}$ et ${\underline{C^{'}}}_{p^{'}}$ étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer ${\underline{C^{'}}}_{p}$ pour $p > 0$ .

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

     Autre façon^[22] de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier^[1] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1^er développement c'est-à-dire
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant $∙$ « $A_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[4]^,^[17],
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant $∙$ « $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ »^[4]^,^[17] et
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant $∙$ « $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ »^[4]^,^[17] ;

     les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier^[1] devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \cos (2 π n f t) + B_{n} \sin (2 π n f t)]} = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]$ » ou,
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « en utilisant dans le 1^er développement les « formules d'Euler^[20] »^[21],
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{A_{n} - i B_{n}}{2} \exp (i 2 π n f t) + \frac{A_{n} + i B_{n}}{2} \exp (- i 2 π n f t)}$ »^[23] et
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « en identifiant les cœfficients de $\exp (i 2 π p f t), p \in ℤ$ dans les deux développements
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $▸$ si $p = 0$ , « ${\underline{C^{'}}}_{0} = A_{0}$ » $\Rightarrow$ « ${\underline{C^{'}}}_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[4],
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $▸$ si $p \in ℕ^{*}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{A_{p} - i B_{p}}{2} = ⟨ s (t) [\cos (2 π p f t) - i \sin (2 π p f t)] ⟩$ ^[4]
            les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $▸$ si $p \in ℕ^{*}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = A_{p} - i B_{p}$ $= ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ »^[4] et
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $▸$ si $p \in ℤ^{(-, *)}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = {\underline{C^{'}}}_{(- | p |)} = \frac{A_{(| p |)} + i B_{(| p |)}}{2} = ⟨ s (t) [\cos (2 π | p | f t) + i \sin (2 π | p | f t)] ⟩$ ^[4]
            les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $▸$ si $p \in ℤ^{(-, *)}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = {\underline{C^{'}}}_{(- | p |)} = A_{(| p |)} + i B_{(| p |)}$ $= ⟨ s (t) \exp (i 2 π | p | f t) ⟩$ ^[4]
            les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\forall t$ $\Rightarrow$ « $▸$ si $p \in ℤ^{(-, *)}$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = {\underline{C^{'}}}_{(- | p |)} = A_{(| p |)} + i B_{(| p |)}$ $= ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ »^[4]^,^[24].

Théorème de Parseval

Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

     Considérant le 3^ème développement en série de Fourier^[1] de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , « $s (t) = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]$ » dans lequel
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , « ${\underline{C^{'}}}_{p} = ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s (t) \exp (- i 2 π p f t) d t$ »
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , est appelé cœfficient de Fourier complexe^[1] de $s$ pour $p \in ℤ$ , et
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , formant la série suivante « ${c^{'}}_{n} (s) = \sum_{p \in ℤ}^{- n à + n} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ »^[25], Parseval^[26] a eu l'intuition
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , de la « convergence de cette série ${c^{'}}_{n} (s)$ vers $⟨ {[s (t)]}^{2} ⟩$ ».

Énoncé du théorème de Parseval

La série « somme des carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de

s

correspondant à un harmonique de rang

⩽ n

»
La série «

{c^{'}}_{n} (s) = \sum_{p \in ℤ}^{- n à + n} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]

» avec «

{\underline{C^{'}}}_{p} = ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩

»^[4],
La série «

{c^{'}}_{n} (s) = [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]

» converge, quand

n \to \infty

, vers «

⟨ {[s (t)]}^{2} ⟩

»^[4] soit mathématiquement, ^[4] «

⟨ {[s (t)]}^{2} ⟩ = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]

»^[27].

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction $s (t)$ en utilisant son 3^ème développement en série de Fourier^[1] soit

«

⟨ s^{2} (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s^{2} (t) d t =

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} {\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]}^{2} d t

» ;

     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type « ${\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t)$ » et
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t]$ avec $(p, q) \in ℤ^{2}$ mais $q \neq p$ »
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

les intégrales des 1^ers termes c'est-à-dire de « ${\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t)$ » $▸$ « $p = 0$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{0}^{2} d t = {\underline{C^{'}}}_{0}^{2} T$ » ou
les intégrales des 1^ers termes c'est-à-dire de « ${\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t)$ » $▸$ « $p \neq 0$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p}^{2} \exp (i 4 π p f t) d t = {\underline{C^{'}}}_{p}^{2} {[\frac{\exp (i 4 π p f t)}{i 4 π p f}]}_{0}^{T} = 0$ »^[28] et
les intégrales des 2^èmes termes c'est-à-dire de « ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t]$ avec $(p, q \neq p) \in ℤ^{2}$ » $▸$ « $q = - p$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{- p} d t = | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2} T$ »^[29] ou
les intégrales des 2^èmes termes c'est-à-dire de « ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t]$ avec $(p, q \neq p) \in ℤ^{2}$ » $▸$ « $q \neq - p$ » $\Rightarrow$ « $\int_{0}^{T} {\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t] d t =$
les intégrales des 2^èmes termes c'est-à-dire de « ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} \exp [i 2 π (p + q) f t]$ avec $(p, q \neq p) \in ℤ^{2}$ » $▸$ « $q \neq - p$ » $\Rightarrow$ « ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{q} {[\frac{\exp [i 2 π (p + q) f t]}{i 2 π (p + q) f}]}_{0}^{T} = 0$ »^[30] ;

finalement « $⟨ s^{2} (t) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} {\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [{\underline{C^{'}}}_{p} \exp (i 2 π p f t)]}^{2} d t \overset{\dots}{=} {\underline{C^{'}}}_{0}^{2} + [\sum_{p \in ℤ^{*}}^{- \infty à - 1 et 1 à + \infty} | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ » d'où, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval^[26] «

⟨ s^{2} (t) ⟩ = \sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}

».

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

     Soit le 2^ème développement en série de Fourier^[1] de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ , « $s (t) = C_{0} + \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [C_{p} \cos (2 π p f t + φ_{p})]$ » dans lequel
         Soit le 2^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ la composante continue^[3] s'évalue par « $C_{0} = {C^{'}}_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[4] et
         Soit le 2^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ l'amplitude de l'harmonique de rang $p$ par « $C_{p} = 2 | {\underline{C^{'}}}_{p} | = 2 | ⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩ |$ »^[4],
     souhaitant réécrire l'égalité de Parseval^[26] en utilisant ce 2^ème développement en série de Fourier^[1], il suffit de « transformer $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ en fonction des nouveaux cœfficients $C_{0}$ et $C_{p}$ » soit « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = C_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = C_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [{(\frac{C_{p}}{2})}^{2}]$ »^[31] ou encore « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] =$ $C_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} C_{p}^{2}]$ ».

Autre égalité de Parseval

^[4] «

⟨ {[s (t)]}^{2} ⟩ = C_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} C_{p}^{2}]

»^[32].

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier

     Soit le 1^er développement en série de Fourier^[1] de la fonction périodique $s (t)$ de fréquence $f$ « $s (t) = A_{0} + \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [A_{p} \cos (2 π p f t) + B_{p} \sin (2 π p f t)]$ » dans lequel
         Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ la composante continue^[3] s'évalue par « $A_{0} = {C^{'}}_{0} = ⟨ s (t) ⟩$ »^[4]^,^[33],
         Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ l'amplitude de l'harmonique pair de rang $p$ par « $A_{p} = 2 ℜ [{\underline{C^{'}}}_{p}] = 2 ℜ [⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩]$ »^[4]^,^[34] et
         Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $s (t)$ l'amplitude de l'harmonique impair de rang $p$ par « $B_{p} = - 2 ℑ [{\underline{C^{'}}}_{(- p)}] = 2 ℑ [⟨ s (t) \exp (i 2 π p f t) ⟩]$ »^[4]^,^[34],
     souhaitant réécrire l'égalité de Parseval^[26] en utilisant ce 1^er développement en série de Fourier^[1], il suffit de « transformer $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}]$ en fonction des nouveaux cœfficients $A_{0}$ , $A_{p}$ et $B_{p}$ » soit « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = A_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] =$ $A_{0}^{2} + 2 \sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} [\frac{A_{p}^{2}}{4} + \frac{B_{p}^{2}}{4}]$ »^[35] ou encore « $\sum_{p \in ℤ}^{- \infty à + \infty} [| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}] = A_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} (A_{p}^{2} + B_{p}^{2})]$ ».

Dernière égalité de Parseval

^[4] «

⟨ {[s (t)]}^{2} ⟩ = A_{0}^{2} + \frac{1}{2} [\sum_{p \in ℕ^{*}}^{1 à + \infty} (A_{p}^{2} + B_{p}^{2})]

»^[36].

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 et ^1,18 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $($ évoqués ici $)$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\dots$
↑ Le substantif « harmonique » est « masculin ».
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 et ^3,7 Au sens permanent.
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 ^4,14 ^4,15 ^4,16 ^4,17 ^4,18 ^4,19 ^4,20 ^4,21 ^4,22 ^4,23 ^4,24 ^4,25 ^4,26 ^4,27 ^4,28 ^4,29 et ^4,30 « $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t$ » définit la valeur moyenne de la fonction $T$ -périodique $f (t)$ , « valeur moyenne notée $⟨ f (t) ⟩$ ».
↑ Un harmonique de rang $n \neq 0$ de fréquence $f_{n} = n f$ étant de période $T_{n} = \frac{T}{n}$ et admettant comme primitive un harmonique de même rang $($ à une constante additive près $)$ mais de parité différente $($ à un facteur multiplicatif près $)$ , la prise de cette primitive sur $T = n T_{n}$ donne effectivement zéro, la primitive étant $T_{n}$ -périodique.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^7,0 et ^7,1 Ne pas confondre la variable fixée $n$ du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée $k$ .
↑ En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] + \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\sin [2 π (k - n) f t] + \sin [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k = n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = B_{n} \sin (2 π n f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ .
↑ ^9,0 et ^9,1 En effet on prend la moyenne sur $T$ d'une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ donc de période $\frac{T}{2 n}$ .
↑ Dans la mesure où « $⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩ = \frac{A_{n}}{2}$ est équivalent à $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ ».
↑ En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\sin [2 π (n + k) f t] + \sin [2 π (n - k) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $(n + k) f$ et $| n - k | f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{n + k}$ et $\frac{T}{| n - k |}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k = n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = A_{n} \cos (2 π n f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] - \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ .
↑ Dans la mesure où « $⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩ = \frac{B_{n}}{2}$ est équivalent à $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ ».
↑ Ceci est possible car ${[\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} + {[\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} = 1$ $\Rightarrow$ il existe un angle tel que $\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ et $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser $\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)$ on introduit le signe « $-$ » dans $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ .
↑ $C_{n}$ étant $> 0$ représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ .
↑ Si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - \frac{π}{2}, 0 [$ et si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , dans ces deux cas on peut écrire $φ_{n} =$ $- \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}})$ ${$ on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un $\arctan ()$ que s'il est strictement compris entre $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}}$ ;
si ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - π, - \frac{π}{2} [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) - π$ ;
si ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] \frac{π}{2}, π [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) + π$ .
↑ Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps $\dots$
↑ ^17,0 ^17,1 ^17,2 et ^17,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
↑ La fonction à prendre entre $0$ et $T$ étant $\frac{T}{| p^{'} - p |}$ -périodique $\dots$
↑ La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
↑ ^20,0 et ^20,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ ^21,0 et ^21,1 La formule d'Euler étant $\exp (i x) = \cos (x) + i \sin (x)$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\cos (x) = \frac{\exp (i x) + \exp (- i x)}{2}$ et $\sin (x) =$ $\frac{\exp (i x) - \exp (- i x)}{2 i}$ .
↑ Moins immédiate.
↑ En effet « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) + \exp (- i 2 π n f t)}{2} + B_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) - \exp (- i 2 π n f t)}{2 i}]}$
En effet « $s (t)$ $= A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{A_{n} - i B_{n}}{2} \exp (i 2 π n f t) + \frac{A_{n} + i B_{n}}{2} \exp (- i 2 π n f t)}$ ».
↑ Cette dernière expression sachant que « $| p | = - p pour p \in ℤ^{(-, *)}$ ».
↑ C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $s$ correspondant à un harmonique de rang $⩽ n$ .
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval $($ ou égalité de Parseval $)$ » dont il eut l'intuition sans le démontrer $($ il estimait que c'était une évidence $)$ .
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $s (t)$ $($ c.-à-d. la moyenne du carré de la fonction $)$ utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de $s$ .
↑ La fonction $\exp (i 4 π p f t)$ étant $\frac{T}{2 | p |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = 2 | p | \frac{T}{2 | p |}$ .
↑ On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ se calculant par $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et $s (t)$ étant une fonction réelle, le conjugué de ${\underline{C^{'}}}_{p}$ c.-à-d. ${[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = ⟨ s (t) \exp (i 2 π p f t) ⟩ = {\underline{C^{'}}}_{- p}$ d'où ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{- p} =$ ${\underline{C^{'}}}_{p} {[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}$ .
↑ La fonction $\exp [i 2 π (p + q) f t]$ étant $\frac{T}{| p + q |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = | p + q | \frac{T}{| p + q |}$ .
↑ On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)}$ étant conjugués ont même module.
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $s (t)$ utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques de $s$ .
↑ On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{0} = A_{0}$ , voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^34,0 et ^34,1 On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{A_{p} - i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{A_{p} + i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ ${$ voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre $}$ d'où les expressions de $A_{p}$ et $B_{p}$ en fonction des cœfficients de Fourier complexes de $s$ .
↑ En effet $ℜ [{\underline{C^{'}}}_{p}] = \frac{A_{p}}{2}$ et $ℑ [{\underline{C^{'}}}_{(- p)}] = \frac{B_{p}}{2} \Rightarrow ℑ [{\underline{C^{'}}}_{p}] = - ℑ [{\underline{C^{'}}}_{(- p)}] = - \frac{B_{p}}{2}$ d'où $| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2} = \frac{A_{p}^{2}}{4} + \frac{B_{p}^{2}}{4}$ .
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $s (t)$ utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques pairs et impairs de $s$ .

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Différentielle d'une fonction d'une variable

Fonction de plusieurs variables indépendantes

[Fourier-1] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 et ^1,18 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $($ évoqués ici $)$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\dots$

[2] Le substantif « harmonique » est « masculin ».

[continu-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 et ^3,7 Au sens permanent.

[Valeur_moyenne-4] 4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 ^4,14 ^4,15 ^4,16 ^4,17 ^4,18 ^4,19 ^4,20 ^4,21 ^4,22 ^4,23 ^4,24 ^4,25 ^4,26 ^4,27 ^4,28 ^4,29 et ^4,30 « $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f (t) d t$ » définit la valeur moyenne de la fonction $T$ -périodique $f (t)$ , « valeur moyenne notée $⟨ f (t) ⟩$ ».

[5] Un harmonique de rang $n \neq 0$ de fréquence $f_{n} = n f$ étant de période $T_{n} = \frac{T}{n}$ et admettant comme primitive un harmonique de même rang $($ à une constante additive près $)$ mais de parité différente $($ à un facteur multiplicatif près $)$ , la prise de cette primitive sur $T = n T_{n}$ donne effectivement zéro, la primitive étant $T_{n}$ -périodique.

[C.Q.F.D.-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[Notation_variable_muette-7] 7,0 et ^7,1 Ne pas confondre la variable fixée $n$ du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée $k$ .

[8] En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] + \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\sin [2 π (k - n) f t] + \sin [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k = n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \cos (2 π n f t) = B_{n} \sin (2 π n f t) \cos (2 π n f t) = \frac{B_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ .

[Moyenne_nulle-9] 9,0 et ^9,1 En effet on prend la moyenne sur $T$ d'une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ donc de période $\frac{T}{2 n}$ .

[10] Dans la mesure où « $⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩ = \frac{A_{n}}{2}$ est équivalent à $A_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \cos (2 π n f t) ⟩$ ».

[11] En effet, si $k \neq n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{k}}{2} {\sin [2 π (n + k) f t] + \sin [2 π (n - k) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $(n + k) f$ et $| n - k | f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{n + k}$ et $\frac{T}{| n - k |}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k = n$ , on linéarise $A_{k} \cos (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = A_{n} \cos (2 π n f t) \sin (2 π n f t) = \frac{A_{n}}{2} \sin [4 π n f t]$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $2 n f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{2 n}$ donnant une valeur moyenne nulle sur $T$ ;
si $k \neq n$ , on linéarise $B_{k} \sin (2 π k f t) \sin (2 π n f t) = \frac{B_{k}}{2} {\cos [2 π (k - n) f t] - \cos [2 π (k + n) f t]}$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $| k - n | f$ et $(k + n) f$ c.-à-d. de période $\frac{T}{| k - n |}$ et $\frac{T}{k + n}$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $T$ .

[12] Dans la mesure où « $⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩ = \frac{B_{n}}{2}$ est équivalent à $B_{n} = 2 \times ⟨ s (t) \sin (2 π n f t) ⟩$ ».

[13] Ceci est possible car ${[\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} + {[\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}]}^{2} = 1$ $\Rightarrow$ il existe un angle tel que $\frac{A_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ et $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser $\cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)$ on introduit le signe « $-$ » dans $\frac{B_{n}}{\sqrt{A_{n}^{2} + B_{n}^{2}}}$ .

[14] $C_{n}$ étant $> 0$ représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang $n$ .

[15] Si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - \frac{π}{2}, 0 [$ et si ${\begin{matrix} A_{n} est > 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] 0, \frac{π}{2} [$ , dans ces deux cas on peut écrire $φ_{n} =$ $- \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}})$ ${$ on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un $\arctan ()$ que s'il est strictement compris entre $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}}$ ;
si ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} > 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] - π, - \frac{π}{2} [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) - π$ ;
si ${\begin{matrix} A_{n} est < 0 \\ et B_{n} < 0 \end{matrix}} \Rightarrow φ_{n} \in] \frac{π}{2}, π [$ et on peut écrire $φ_{n} = - \arctan (\frac{B_{n}}{A_{n}}) + π$ .

[16] Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps $\dots$

[Complément-17] 17,0 ^17,1 ^17,2 et ^17,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.

[18] La fonction à prendre entre $0$ et $T$ étant $\frac{T}{| p^{'} - p |}$ -périodique $\dots$

[19] La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.

[Euler-20] 20,0 et ^20,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

[Formules_d'Euler-21] 21,0 et ^21,1 La formule d'Euler étant $\exp (i x) = \cos (x) + i \sin (x)$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\cos (x) = \frac{\exp (i x) + \exp (- i x)}{2}$ et $\sin (x) =$ $\frac{\exp (i x) - \exp (- i x)}{2 i}$ .

[22] Moins immédiate.

[23] En effet « $s (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {[A_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) + \exp (- i 2 π n f t)}{2} + B_{n} \frac{\exp (i 2 π n f t) - \exp (- i 2 π n f t)}{2 i}]}$
En effet « $s (t)$ $= A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} {\frac{A_{n} - i B_{n}}{2} \exp (i 2 π n f t) + \frac{A_{n} + i B_{n}}{2} \exp (- i 2 π n f t)}$ ».

[24] Cette dernière expression sachant que « $| p | = - p pour p \in ℤ^{(-, *)}$ ».

[25] C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $s$ correspondant à un harmonique de rang $⩽ n$ .

[Parseval-26] 26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval $($ ou égalité de Parseval $)$ » dont il eut l'intuition sans le démontrer $($ il estimait que c'était une évidence $)$ .

[27] On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $s (t)$ $($ c.-à-d. la moyenne du carré de la fonction $)$ utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de $s$ .

[28] La fonction $\exp (i 4 π p f t)$ étant $\frac{T}{2 | p |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = 2 | p | \frac{T}{2 | p |}$ .

[29] On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ se calculant par $⟨ s (t) \exp (- i 2 π p f t) ⟩$ voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et $s (t)$ étant une fonction réelle, le conjugué de ${\underline{C^{'}}}_{p}$ c.-à-d. ${[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = ⟨ s (t) \exp (i 2 π p f t) ⟩ = {\underline{C^{'}}}_{- p}$ d'où ${\underline{C^{'}}}_{p} {\underline{C^{'}}}_{- p} =$ ${\underline{C^{'}}}_{p} {[{\underline{C^{'}}}_{p}]}^{*} = | {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2}$ .

[30] La fonction $\exp [i 2 π (p + q) f t]$ étant $\frac{T}{| p + q |}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $0$ et $T = | p + q | \frac{T}{| p + q |}$ .

[31] On rappelle que ${\underline{C^{'}}}_{p}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)}$ étant conjugués ont même module.

[32] On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $s (t)$ utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques de $s$ .

[33] On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{0} = A_{0}$ , voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre.

[expressions_de_Ap_et_Bp-34] 34,0 et ^34,1 On a en effet établi que ${\underline{C^{'}}}_{p} = \frac{A_{p} - i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ et ${\underline{C^{'}}}_{(- p)} = \frac{A_{p} + i B_{p}}{2} p \in ℕ^{*}$ ${$ voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre $}$ d'où les expressions de $A_{p}$ et $B_{p}$ en fonction des cœfficients de Fourier complexes de $s$ .

[35] En effet $ℜ [{\underline{C^{'}}}_{p}] = \frac{A_{p}}{2}$ et $ℑ [{\underline{C^{'}}}_{(- p)}] = \frac{B_{p}}{2} \Rightarrow ℑ [{\underline{C^{'}}}_{p}] = - ℑ [{\underline{C^{'}}}_{(- p)}] = - \frac{B_{p}}{2}$ d'où $| {\underline{C^{'}}}_{p} |^{2} = \frac{A_{p}^{2}}{4} + \frac{B_{p}^{2}}{4}$ .

[36] On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $s (t)$ utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques pairs et impairs de $s$ .

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Énoncé du théorème de Fourier

Premier développement en série de Fourier

Deuxième développement en série de Fourier

Passage du premier au second développement en série de Fourier

Troisième développement en série de Fourier

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

Théorème de Parseval

Théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1er développement en série de Fourier

Notes et références

Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier