Leçons de niveau 15

Ondes électromagnétiques guidées/Guide rectangulaire

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Ondes électromagnétiques guidées : Guide rectangulaire
Ondes électromagnétiques guidées/Guide rectangulaire
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, est un guide d'ondes :

  • de section droite rectangulaire
  • supposé illimité dans la direction
  • parfaitement conducteur
  • creux
Waveguide.svg

On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme et sa longueur d'onde dans le vide est .

Panneau d’avertissement On ne s'intéressera dans cette page qu’à la propagation des modes TE.

Étude des modes TEm0[modifier | modifier le wikicode]

Quantification[modifier | modifier le wikicode]

Supposons dans un premier temps le champ électrique polarisé rectilignement suivant .

On a vu que ce champ satisfaisait :

  • l'équation
  • l'équation d'Helmotz
  • les conditions aux limites. Le champ électrique étant suivant la direction , on a . Les équations de passage du champ électrique assurent alors que

On en tire les conclusions suivantes :

  • Du premier point, on tire , ce qui permet de se ramener à
  • La réinjection de ce premier résultat dans le deuxième point donne l'équation différentielle vérifiée par
La résolution de cette équation différentielle donne des solutions de la forme
  • La condition aux limites impose
La condition aux limites impose

Finalement, le champ électrique a pour expression .



Dispersion et coupure[modifier | modifier le wikicode]

La quantification donne, pour un entier donné, la relation de dispersion

Les modes propagés ont pour pulsation

Début d’un théorème
Fin du théorème


Vitesse de phase, vitesse de groupe[modifier | modifier le wikicode]

Pour , une onde progressive est susceptible de se propager.

  • La vitesse de phase vaut
  • La vitesse de groupe vaut

La vitesse de groupe est inférieure à c. La propagation est donc plus lente dans un guide que dans le vide.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Pour propager une onde électromagnétique dans le guide, il faut . Il existe alors tel que .

On a .

Tout se passe donc comme si l’on décomposait le vecteur d'onde suivant deux composantes :

  • la composante suivant , transversale par rapport à la direction de propagation de l'onde, notée
  • la composante suivant , parallèle à la direction de propagation de l'onde, notée

Les normes de ces vecteurs vérifient de plus

L'angle θ est alors équivalent à l'angle d'incidence de l'onde sur le guide. Cette vision des choses permet de retomber sur les résultats montrés plus tôt :

  • Dans la direction , on a une onde progressive de vecteur d'onde . Sa vitesse de phase est
  • Dans la direction , on obtient une onde stationnaire de vecteur d'onde quantifié.


Quantification des incidences[modifier | modifier le wikicode]

Si on poursuit l'approche géométrique du paragraphe précédent, étudions l'influence de θ sur la propagation. Pour une onde de pulsation ω déterminée :

.
Début d’un théorème
Fin du théorème


Si on souhaite propager un signal polychromatique dans un certain mode TEm0, à chaque fréquence correspond une incidence donnée. Chaque fréquence se propage alors dans le guide « suivant ses propres zigzags », et donc à des vitesses suivant différentes. Ceci explique le phénomène de dispersion.

Étude des modes TE0n[modifier | modifier le wikicode]

Supposons à présent le champ électrique polarisé rectilignement suivant . De la même manière que précédemment, on obtient que ce champ est :

  • progressif dans la direction
  • stationnaire dans la direction
  • quantifié par un entier n. Chaque valeur de n définit un mode.
  • indépendant en module de z.

Étude des modes TEmn[modifier | modifier le wikicode]

Cherchons à présent la forme d'un champ électrique propagé de direction quelconque. En mode TE, tout champ électrique propagé est la superposition d'un champ électrique suivant et d'un champ électrique suivant . En effectuant la superposition des résultats obtenus aux paragraphes précédents dans le cas le plus général, on subodore au final une double quantification des champs électriques transversaux.

Note : Pour trouver l’expression analytique de ces modes supérieurs, il faut reprendre depuis le début le système des équations vérifiées par Ex et Ey, et résoudre ce système par la méthode de séparation des variables. Vous pouvez essayer de faire ces calculs pour vous entraîner à la résolution de ce type de problème. On peut également retrouver directement tous ces résultats en partant des fonctions génératrices, ce qui est proposé en exercice.


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Application des fonctions génératrices à l'étude du guide d'ondes rectangulaire.



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On peut alors de la même manière que précédemment décomposer le vecteur d'onde en 2 composantes :

  • Dans la direction , un vecteur d'onde représentant une onde progressive.
  • Dans la direction orthogonale à , un vecteur d'onde représentant une onde stationnaire.

Le vecteur d'onde est de norme quantifiée

La relation de dispersion devient :

Les modes propagés ont alors pour pulsation:

Début d’un théorème
Fin du théorème