Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire

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Dans ce chapitre, $𝒢$ est un guide d'ondes :

• de section droite circulaire $r=a$
• supposé illimité dans la direction ${\overrightarrow{u}}_z$
• parfaitement conducteur
• creux

On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme $k_0=\frac{\omega }{c}$ et sa longueur d'onde dans le vide est ${\lambda }_0=\frac{2\pi c}{\omega }$.

Étude des modes TE_0n

On en revient à l'étude de l'équation $\mathrm{\Delta }{B}_z+k_{\perp }^2{B}_z=0$. On ne s'intéresse dans un premier temps qu'aux solutions indépendantes de θ $(B_z=B_z(r))$

Quantification

Posons $\{\begin{array}{c}\rho =k_{\perp }r\\ \eta =\frac{B_z(\rho )}{B_z(0)}\end{array}$.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{B}_z+k_{\perp }^2{B}_z=0& \iff \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r\frac{\mathrm{d}{B}_z}{\mathrm{d}r}\right)+k_{\perp }^2{B}_z=0\\ & \iff \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}{B}_z}{\mathrm{d}r}+\frac{{\mathrm{d}}^2{B}_z}{\mathrm{d}{r}^2}+k_{\perp }^2{B}_z=0\\ & \iff r^2\frac{{\mathrm{d}}^2{B}_z}{\mathrm{d}{r}^2}+r\frac{\mathrm{d}{B}_z}{\mathrm{d}r}+k_{\perp }^2{r}^2{B}_z=0\\ & \iff k_{\perp }^2{r}^2\frac{{\mathrm{d}}^2\eta }{\mathrm{d}{\rho }^2}+k_{\perp }r\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\rho }+k_{\perp }^2{r}^2\eta =0\\ & \iff \frac{{\mathrm{d}}^2\eta }{\mathrm{d}{\rho }^2}+\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\rho }+\eta =0\\ \end{array}$

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites $\eta (0)=1$.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 est bien connue. Il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0, notée J₀ : $\eta (\rho )=J_0(\rho )$.

Premiers zéros de J'₀

n	z'0n
1	3,8317
2	7,0156
3	10,1735
4	13,3237
5	16,4706

$B_z(r)=B_z(0)J_0(k_{\perp }r)$

L'onde propagée doit cependant satisfaire une autre condition aux limites : $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{B}_z\cdot {\overrightarrow{u}}_r=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à ${\frac{\mathrm{d}\eta }{\mathrm{d}\rho }|}_{\rho =k_{\perp }a}=0$, soit ${J_0}^{\prime }(k_{\perp }a)=0$.

Début d’un théorème

Quantification du mode TE_0n dans un guide circulaire

Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }=\frac{z{\text{'}}_{0n}}{a},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, où $z{\text{'}}_{0n}$ est le n-ième zéro non trivial de la dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0.

Le mode TE propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J'₀ est appelé mode TE_0n.

Fin du théorème

Dispersion et coupure

La quantification $k_{\perp }=\frac{z{\text{'}}_{0n}}{a},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ donne, pour un entier $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ donné, la relation de dispersion $k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}-{\left(\frac{z{\text{'}}_{0n}}{a}\right)}^2$

Les modes propagés ont pour pulsation ${\omega }_{0n}=c\sqrt{k^2+{\left(\frac{z{\text{'}}_{0n}}{a}\right)}^2}$

Début d’un théorème

Dispersion et coupure dans un guide d'ondes circulaire pour les modes TE_n0

Posons $({\omega }_{0n}{)}_c=c\frac{z{\text{'}}_{0n}}{a}$.

Comme pour le guide d'ondes rectangulaire :

• La relation de dispersion devient $k^2=\frac{{\omega }^2-({\omega }_{0n}{)}_c^2}{c}$.
• $({\omega }_{0n}{)}_c$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
• Le guide d'ondes est dispersif.

Fin du théorème

Étude des modes TE_mn

À présent, considérons le cas où une dépendance en θ est possible.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{B}_z+k_{\perp }^2{B}_z=0& \iff \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial B_z}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{B}_z}{\partial {\theta }^2}+k_{\perp }^2{B}_z=0\\ & \iff \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial r}+\frac{{\partial }^2{B}_z}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{B}_z}{\partial {\theta }^2}+k_{\perp }^2{B}_z=0\\ \end{array}$

On remarque alors une équation du type équation harmonique en θ. On pense alors à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme $B_z=R(r)e^{jm\theta }$

Posons $\{\begin{array}{c}\rho =k_{\perp }r\\ \Re =\frac{R(\rho )}{R(0)}\end{array}$.

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{B}_z+k_{\perp }^2{B}_z=0& \iff \frac{1}{r}\frac{\partial B_z}{\partial r}+\frac{{\partial }^2{B}_z}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{B}_z}{\partial {\theta }^2}+k_{\perp }^2{B}_z=0\\ & \iff \frac{{\mathrm{d}}^{2}R}{\mathrm{d}{r}^2}+\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}+(k_{\perp }^2-\frac{m^2}{r^2})R(r)=0\\ & \iff {\rho }^2\frac{{\mathrm{d}}^2\Re }{\mathrm{d}{\rho }^2}+\rho \frac{\mathrm{d}\Re }{\mathrm{d}\rho }+({\rho }^2-m^2)\Re (\rho )=0\\ \end{array}$

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites $\Re (0)=1$.

De plus, il faut que B_z soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

$\begin{array}{cc}{B}_z(r,\theta +2\pi )=B_z(r,\theta )& \iff e^{jm\theta }=e^{jm(\theta +2\pi )}\\ & \iff e^{jm\theta }=e^{jm\theta }{e}^{j2m\pi }\\ \end{array}$

Il est donc impératif que $m\in \mathbb{N}$.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est connue : il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée J_m : $\Re (\rho )=J_m(\rho )$.

$B_z(r,\theta )=B_z(0)J_m(k_{\perp }r)e^{jm\theta }$

Comme tout à l’heure, il faut que $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{B}_z\cdot {\overrightarrow{u}}_r=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à ${J_m}^{\prime }(k_{\perp }a)=0$.

Début d’un théorème

Double quantification des modes TE_mn dans un guide circulaire

Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }=\frac{z{\text{'}}_{mn}}{a},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, où $z{\text{'}}_{mn}$ est le n-ième zéro non trivial de la dérivée de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m.

Le mode TE propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J'_m est appelé mode TE_mn.

Fin du théorème

Premiers zéros de J'_m

n	z'0n	z'1n	z'2n
1	3,8317	1,8412	3,0542
2	7,0156	5,3314	6,7061
3	10,1735	8,5363	9,9695
4	13,3237	11,7060	13,1704
5	16,4706	14,8636	16,3475

La quantification $k_{\perp }=\frac{z{\text{'}}_{mn}}{a},m\in \mathbb{N},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion $k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}-{\left(\frac{z{\text{'}}_{mn}}{a}\right)}^2$

Les modes propagés ont pour pulsation ${\omega }_{mn}=c\sqrt{k^2+{\left(\frac{z{\text{'}}_{mn}}{a}\right)}^2}$

Début d’un théorème

Dispersion et coupure dans un guide d'ondes circulaire pour les modes TE_mn

Posons $({\omega }_{mn}{)}_c=c\frac{z{\text{'}}_{mn}}{a}$.

Comme pour le guide d'ondes rectangulaire :

• La relation de dispersion devient $k^2=\frac{{\omega }^2-({\omega }_{mn}{)}_c^2}{c}$.
• $({\omega }_{mn}{)}_c$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
• Le guide d'ondes est dispersif.

Fin du théorème

Fondamental

Le mode TE₁₁ est appelé fondamental, car c’est le mode qui a la fréquence caractéristique la plus basse.

Étude des modes TM_mn

L'étude des modes TM dans le guide circulaire se fait de manière tout à fait analogue, comme nous allons le voir. On en revient à l'étude de l'équation $\mathrm{\Delta }{E}_z+k_{\perp }^2{E}_z=0$.

$\mathrm{\Delta }{E}_z+k_{\perp }^2{E}_z=0\iff \frac{1}{r}\frac{\partial E_z}{\partial r}+\frac{{\partial }^2{E}_z}{\partial r^2}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{E}_z}{\partial {\theta }^2}+k_{\perp }^2{E}_z=0$

De la même manière, on pense à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme $E_z=R(r)e^{jm\theta }$

Posons $\{\begin{array}{c}\rho =k_{\perp }r\\ \Re =\frac{R(\rho )}{R(0)}\end{array}$.

$\mathrm{\Delta }{E}_z+k_{\perp }^2{E}_z=0\iff {\rho }^2\frac{{\mathrm{d}}^2\Re }{\mathrm{d}{\rho }^2}+\rho \frac{\mathrm{d}\Re }{\mathrm{d}\rho }+({\rho }^2-m^2)\Re (\rho )=0$

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites $\Re (0)=1$.

De plus, il faut que ε soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

$E_z(r,\theta +2\pi )=E_z(r,\theta )\iff m\in \mathbb{N}$.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée J_m :

$E_z(r,\theta )=E_z(0)J_m(k_{\perp }r)e^{jm\theta }$

Toutefois, la condition aux limites en $r=a$ est différente des modes TE puisque la condition porte sur E_z et non sur B_z. Il faut que $E_z=0$ en $r=a$, ce qui se ramène à $J_m(k_{\perp }a)=0$.

Début d’un théorème

Double quantification des modes TM_mn dans un guide circulaire

Le guide d'ondes circulaire ne peut propager que les ondes vérifiant $k_{\perp }=\frac{z_{mn}}{a},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, où $z_{mn}$ est le n-ième zéro non trivial de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m.

Le mode TM propageant l'onde correspondant au n-ième zéro de J_m est appelé mode TM_mn.

Fin du théorème

Premiers zéros de J_m

n	z0n	z1n	z2n
1	2,4048	3,8317	5,1356
2	5,5201	7,0156	8,4172
3	8,6537	10,1735	11,6198
4	11,7915	13,3237	14,7960
5	14,9309	16,4706	17,9598

La quantification $k_{\perp }=\frac{z_{mn}}{a},m\in \mathbb{N},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion $k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}-{\left(\frac{z_{mn}}{a}\right)}^2$

Les modes propagés ont pour pulsation ${\omega }_{mn}=c\sqrt{k^2+{\left(\frac{z_{mn}}{a}\right)}^2}$

Début d’un théorème

Dispersion et coupure dans un guide d'ondes circulaire pour les modes TM_mn

Posons $({\omega }_{mn}{)}_c=c\frac{z_{mn}}{a}$.

• La relation de dispersion devient $k^2=\frac{{\omega }^2-({\omega }_{mn}{)}_c^2}{c}$.
• $({\omega }_{mn}{)}_c$ est la pulsation de coupure du guide d'ondes, qui se comporte comme un filtre passe-haut.
• Le guide d'ondes est dispersif.

Fin du théorème