Leçons de niveau 15

Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire

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Guide circulaire
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Chapitre no 3
Leçon : Ondes électromagnétiques guidées
Chap. préc. :Guide rectangulaire
Chap. suiv. :Câble coaxial
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Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire
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Dans ce chapitre, est un guide d'ondes :

  • de section droite circulaire
  • supposé illimité dans la direction
  • parfaitement conducteur
  • creux

On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme et sa longueur d'onde dans le vide est .


Étude des modes TE0n[modifier | modifier le wikicode]

On en revient à l'étude de l'équation . On ne s'intéresse dans un premier temps qu'aux solutions indépendantes de θ

Quantification[modifier | modifier le wikicode]

Posons .

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites .

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 est bien connue. Il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0, notée J0 : .

Premiers zéros de J'0
n z'0n
1 3,8317
2 7,0156
3 10,1735
4 13,3237
5 16,4706

Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg



L'onde propagée doit cependant satisfaire une autre condition aux limites : en , ce qui se ramène à , soit .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Dispersion et coupure[modifier | modifier le wikicode]

La quantification donne, pour un entier donné, la relation de dispersion

Les modes propagés ont pour pulsation

Début d’un théorème
Fin du théorème


Étude des modes TEmn[modifier | modifier le wikicode]

À présent, considérons le cas où une dépendance en θ est possible.

On remarque alors une équation du type équation harmonique en θ. On pense alors à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme

Posons .

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites .

De plus, il faut que Bz soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

Il est donc impératif que .

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est connue : il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée Jm : .



Comme tout à l’heure, il faut que en , ce qui se ramène à .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Premiers zéros de J'm
n z'0n z'1n z'2n
1 3,8317 1,8412 3,0542
2 7,0156 5,3314 6,7061
3 10,1735 8,5363 9,9695
4 13,3237 11,7060 13,1704
5 16,4706 14,8636 16,3475

Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg

La quantification donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion

Les modes propagés ont pour pulsation

Début d’un théorème
Fin du théorème



Étude des modes TMmn[modifier | modifier le wikicode]

L'étude des modes TM dans le guide circulaire se fait de manière tout à fait analogue, comme nous allons le voir. On en revient à l'étude de l'équation .

De la même manière, on pense à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme

Posons .

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites .

De plus, il faut que ε soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

.

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée Jm :


Toutefois, la condition aux limites en est différente des modes TE puisque la condition porte sur Ez et non sur Bz. Il faut que en , ce qui se ramène à .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Premiers zéros de Jm
n z0n z1n z2n
1 2,4048 3,8317 5,1356
2 5,5201 7,0156 8,4172
3 8,6537 10,1735 11,6198
4 11,7915 13,3237 14,7960
5 14,9309 16,4706 17,9598

Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg

La quantification donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion

Les modes propagés ont pour pulsation

Début d’un théorème
Fin du théorème