Ondes électromagnétiques/Propagation

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Propagation des potentiels

On va établir les équations de propagation des potentiels dans un milieu linéaire homogène isotrope, de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε.

Propagation du potentiel vecteur

Une des équations de Maxwell est ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

De plus, ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

On remplace :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})&=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}\left(-\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}\right)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}{\textrm {~(jauge~de~Lorenz)}}\\\end{aligned}}$

Or, ${\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}})$

Donc

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

Propagation du potentiel vecteur

${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu {\vec {j}}$

Propagation du potentiel

On sait que ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

On prend la divergence :

${\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {E}})&=-\mathrm {div} ({\vec {\nabla }}V)-\mathrm {div} \left({\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\\&=-\Delta V-{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))\\&=-\Delta V+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}\right){\textrm {~(jauge~de~Lorenz)}}\\&=-\Delta V+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

De plus, une équation de Maxwell assure que $\mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$.

Propagation du potentiel

$\Delta V-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Propagation des champs dans un milieu sans charges ni courants

À partir des potentiels

D'après la jauge de Coulomb, dans un milieu LHI sans charges ni courants, V = 0 donc ${\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$.

De plus, on a montré que la propagation du potentiel vecteur vérifie, dans un milieu sans charges ni courants, ${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=0$

Donc, en dérivant par rapport au temps, ${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {\Delta }}{\vec {A}}\right)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{3}{\vec {A}}}{\partial t^{3}}}=0$

ie $-{\vec {\Delta }}\left(-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(-{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)=0$

ie $-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0$

Propagation du champ électrique dans un milieu sans charges ni courants

${\vec {\Delta }}{\vec {E}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

On peut également trouver l'équation de propagation du champ magnétique :

Propagation du champ magnétique dans un milieu sans charges ni courants

${\vec {\Delta }}{\vec {B}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$

Manipulation générale

D'après les équations de Maxwell, ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

On prend le rotationnel :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\\&=\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})\right)\\&=\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\frac {\partial B}{\partial t}}\right)\\&=-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}$

De plus :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {B}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {B}}\\&=-{\vec {\Delta }}{\vec {B}}~{\textrm {car}}~\mathrm {div} ({\vec {B}})=0\end{aligned}}$

On retombe bien sur ${\vec {\Delta }}{\vec {B}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}$

D'après les équations de Maxwell, ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

On prend le rotationnel :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\\&=-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}$

De plus :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}\\&=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}{\textrm {~(milieu~sans~charges)}}\end{aligned}}$

On retombe bien sur ${\vec {\Delta }}{\vec {E}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}$

Équations de propagation

Toutes les équations que l’on a démontrées dans ce chapitre sont des équations de propagation, puisqu'elles établissent une relation entre les dérivées secondes d'espace et la dérivée seconde du temps.

Ce type d'expression est à opposer aux équations de diffusion qui régissent par exemple les phénomènes thermiques, qui relient les dérivées secondes d'espace à la dérivée première du temps.

Nous allons à présent chercher à résoudre ces équations aux dérivées partielles dans quelques cas simples.