Ondes électromagnétiques/Propagation

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Propagation des potentiels

On va établir les équations de propagation des potentiels dans un milieu linéaire homogène isotrope, de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε.

Propagation du potentiel vecteur

Une des équations de Maxwell est $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B})=\mu \overrightarrow{j}+ϵ\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

De plus, $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$

On remplace :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B})& =\mu \overrightarrow{j}+ϵ\mu \frac{\partial }{\partial t}(-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t})\\ & =\mu \overrightarrow{j}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(-ϵ\mu \frac{\partial V}{\partial t})-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}\\ & =\mu \overrightarrow{j}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A}))-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}\text{~(jauge~de~Lorenz)}\\ \end{array}$

Or, $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{A})$

Donc

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{A}))& =\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A}))-\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{A}\\ & =\mu \overrightarrow{j}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A}))-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}\end{array}$

Propagation du potentiel vecteur

$\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{A}-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}=-\mu \overrightarrow{j}$

Propagation du potentiel

On sait que $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$

On prend la divergence :

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E})& =-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V)-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}\right)\\ & =-\Delta V-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A}))\\ & =-\Delta V+\frac{\partial }{\partial t}\left(ϵ\mu \frac{\partial V}{\partial t}\right)\text{~(jauge~de~Lorenz)}\\ & =-\Delta V+ϵ\mu \frac{{\partial }^{2}V}{\partial t^2}\end{array}$

De plus, une équation de Maxwell assure que $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E})=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$.

Propagation du potentiel

$\mathrm{\Delta }V-ϵ\mu \frac{{\partial }^{2}V}{\partial t^2}=-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

Propagation des champs dans un milieu sans charges ni courants

À partir des potentiels

D'après la jauge de Coulomb, dans un milieu LHI sans charges ni courants, V = 0 donc $\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$.

De plus, on a montré que la propagation du potentiel vecteur vérifie, dans un milieu sans charges ni courants, $\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{A}-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{A}}{\partial t^2}=0$

Donc, en dérivant par rapport au temps, $\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{A}\right)-ϵ\mu \frac{{\partial }^3\overrightarrow{A}}{\partial t^3}=0$

ie $-\overrightarrow{\Delta }(-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t})+ϵ\mu \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}(-\frac{\partial A}{\partial t})=0$

ie $-\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{E}+ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0$

Propagation du champ électrique dans un milieu sans charges ni courants

$\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{E}=ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

On peut également trouver l'équation de propagation du champ magnétique :

Propagation du champ magnétique dans un milieu sans charges ni courants

$\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{B}=ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}$

Manipulation générale

D'après les équations de Maxwell, $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B})=ϵ\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

On prend le rotationnel :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B}))& =\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\left(ϵ\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\\ & =ϵ\mu \frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E}))\\ & =ϵ\mu \frac{\partial }{\partial t}(-\frac{\partial B}{\partial t})\\ & =-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}\\ \end{array}$

De plus :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B}))& =\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{B}))-\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{B}\\ & =-\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{B}\text{car}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{B})=0\end{array}$

On retombe bien sur $\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{B}=ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}$

D'après les équations de Maxwell, $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E})=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

On prend le rotationnel :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E}))& =\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t})\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B}))\\ & =-\frac{\partial }{\partial t}\left(ϵ\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)\\ & =-ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}\\ \end{array}$

De plus :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E}))& =\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E}))-\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{E}\\ & =-\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{E}\text{~(milieu~sans~charges)}\end{array}$

On retombe bien sur $\overrightarrow{\Delta }\overrightarrow{E}=ϵ\mu \frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}$

Équations de propagation

Toutes les équations que l’on a démontrées dans ce chapitre sont des équations de propagation, puisqu'elles établissent une relation entre les dérivées secondes d'espace et la dérivée seconde du temps.

Ce type d'expression est à opposer aux équations de diffusion qui régissent par exemple les phénomènes thermiques, qui relient les dérivées secondes d'espace à la dérivée première du temps.

Nous allons à présent chercher à résoudre ces équations aux dérivées partielles dans quelques cas simples.