Ondes électromagnétiques/Onde plane

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On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.

Introduction

On a vu que, pour toute composante de $\overrightarrow{A},\overrightarrow{E}$ ou $\overrightarrow{B}$, les équations de propagation sont de la forme $ϵ\mu \frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }s$.

On ne sait pas trouver toutes les solutions de cette équation aux dérivées partielles. On va donc en chercher sous une forme particulière.

Dans la suite, on pose $v=\frac{1}{\sqrt{ϵ\mu }}$. Ainsi, $ϵ\mu =\frac{1}{v^2}$. On expliquera plus loin dans cette page le pourquoi de cette notation.

Début d’un principe

Recherche d'onde plane solution de l'équation de propagation

On se met à la recherche d'une solution de la forme $s=s(x,t)$.

L'équation aux dérivées partielles de propagation devient alors $\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }s=\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}$.

Fin du principe

Faites ces exercices : Onde sphérique.

On pourrait tout aussi bien choisir de rechercher les ondes sphériques solution de cette équation de propagation. Ce cas est laissé en exercice.

Calcul

Résolution

À présent, on s'interroge sur la forme de s. Comme on sait que l'équation vérifiée par s est une équation de propagation suivant $\overrightarrow{x}$, on a l'idée, au lieu de paramétrer s par $(x,t)$, de changer de variables. On pose ainsi deux nouvelles variables :

• $u=t-\frac{x}{v}$
• $w=t+\frac{x}{v}$

Étudions ce que devient l'équation de propagation $\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}$ avec ces nouvelles variables :

• D'après la règle de la chaîne : $\frac{\partial s}{\partial x}=\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial s}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}(E)$
  • $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(t-\frac{x}{v})=-\frac{1}{v}$
  • $\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(t+\frac{x}{v})=\frac{1}{v}$
• On obtient: $\frac{\partial s}{\partial x}=\frac{1}{v}(\frac{\partial s}{\partial w}-\frac{\partial s}{\partial u})$
• On redérive $(E)$ par rapport à x :

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial x^2}& =[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{\partial s}{\partial x}\right)\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{\partial s}{\partial x}\right)\frac{\partial w}{\partial x}]\\ & =\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}-2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2})\end{array}$

• On s'attaque maintenant à la dérivée par rapport au temps :
  • On applique la règle de la chaîne : $\frac{\partial s}{\partial t}=\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial s}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial t}(E^{\prime })$
  • $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(t-\frac{x}{v})=1$
  • $\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(t+\frac{x}{v})=1$
• Donc $\frac{\partial s}{\partial t}=(\frac{\partial s}{\partial w}+\frac{\partial s}{\partial u})$
• On redérive $(E^{\prime })$ par rapport au temps :

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}& =[\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{\partial s}{\partial t}\right)\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial w}\left(\frac{\partial s}{\partial t}\right)\frac{\partial w}{\partial t}]\\ & =[\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}+2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2}]\end{array}$

L'équation de propagation $\mathrm{\Delta }s=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^{2}s}{\partial t^2}$ devient alors (après simplification) $\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}-2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2})=\frac{1}{v^2}(\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u^2}+2\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}+\frac{{\partial }^{2}s}{\partial w^2})$

Cela implique $\frac{{\partial }^{2}s}{\partial u\partial w}=0$, c'est-à-dire $s=f(u)+g(w)$

Au bout du compte, on trouve : $s(x,t)=f(t-\frac{x}{v})+g(t+\frac{x}{v})$

Interprétation

Étudions le cas du terme $f(t-\frac{x}{v})$, l'étude de l'autre terme se menant de manière parfaitement identique.

• À l'instant t₀ et à l'abscisse x₀, ce terme prend la valeur $f(t_0-\frac{x_0}{v})=\alpha$.
• À l'instant $t_0+\Delta t$, donc un peu plus tard, l'onde s'est propagée. On cherche à quelle abscisse $x+\Delta x$ on a $f((t_0+\mathrm{\Delta }t)-\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x}{v})=\alpha$.

Cette égalité est vérifiée tout à fait logiquement lorsque $t_0-\frac{x_0}{v}=(t_0+\mathrm{\Delta }t)-\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x}{v}$ (la fonction ƒ appliquée au même nombre va donner le même résultat).

Après développement et simplification, on aboutit à la relation $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. v est donc la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu étudié.

Propriété

• Dans le vide : ${ϵ}_0{\mu }_0{c}^2=1$
• Dans un milieu LHI de permittivité diélectrique ε et de

perméabilité magnétique μ : $ϵ\mu v^2=1$

v étant définie positive, cette onde se propage dans le sens des x croissants.

La solution trouvée plus haut peut alors s'interpréter comme suit : Le terme en $f(t-\frac{x}{v})$ correspond à une onde se propageant vers les x croissants à la vitesse v Le terme en $g(t+\frac{x}{v})$ correspond à une onde se propageant vers les x décroissants à la vitesse v

Propriétés

Définition

Un champ est dit transverse lorsqu’il n'admet pas de composante suivant la direction de propagation de l'onde.

Transversalité du champ électrique

On se place dans la jauge de Coulomb.

Comme $\overrightarrow{E}$ est seule fonction de x et t, sa divergence se réduit à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E})=\frac{\partial E_x}{\partial x}$.

Or, dans un milieu sans charges, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{E})=0$, donc E_x ne dépend pas de x.

Le champ électrique est également défini par $\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}V-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$.

On projette suivant x : $E_x=-\frac{\partial A_x}{\partial t}$.

On dérive par rapport à t : $\frac{\partial E_x}{\partial t}=-\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial t^2}$.

L'équation de propagation du potentiel vecteur dans un milieu sans courants permet d'obtenir $ϵ\mu \frac{\partial E_x}{\partial t}=-\mathrm{\Delta }{A}_x$.

Comme le potentiel vecteur n'est lui aussi fonction que de x et t, $ϵ\mu \frac{\partial E_x}{\partial t}=-\frac{{\partial }^2{A}_x}{\partial x^2}$.

Comme, dans la jauge de Coulomb, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A})=\frac{\partial A_x}{\partial x}=0$, on a finalement $\frac{\partial E_x}{\partial t}=0$, soit E_x indépendant de t.

Finalement, E_x est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours d'électrostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.

On aboutit alors à E_x=0.

Transversalité du champ électrique

$\overrightarrow{E}$ est transverse.

Transversalité du champ magnétique

Comme $\overrightarrow{B}$ est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{B})=\frac{\partial B_x}{\partial x}$.

Or, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{B})=0$, donc B_x ne dépend pas de x.

De plus, $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{E})=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

On projette suivant x : $\frac{\partial B_x}{\partial t}=\frac{\partial E_y}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial y}=0$, donc B_x ne dépend pas de t non plus.

Finalement, B_x est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours de magnétostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.

On a abouti alors à B_x=0.

Transversalité du champ magnétique

$\overrightarrow{B}$ est transverse.

Transversalité du potentiel vecteur

Comme $\overrightarrow{A}$ est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit dans la jauge de Coulomb à $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A})=\frac{\partial A_x}{\partial x}$.

Or, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}(\overrightarrow{A})=0$, donc A_x ne dépend pas de x.

De plus, $\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$

On projette suivant x : $\frac{\partial A_x}{\partial t}=-E_x=0$, donc A_x ne dépend pas de t non plus.

Finalement, A_x est une constante dans le temps et dans l'espace, et pour les mêmes arguments que précédemment on choisit A_x=0.

Transversalité du potentiel vecteur

$\overrightarrow{A}$ est transverse.

Relation entre les champs

On suppose désormais travailler avec une onde plane se propageant suivant les $\overrightarrow{x}$ croissants.

On part de l’expression des coordonnées du potentiel vecteur : $\{\begin{array}{c}{A}_x=0\\ A_y=f(t-\frac{x}{v})\\ A_z=g(t-\frac{x}{v})\end{array}$

On obtient alors $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ grâce aux relations $\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}$ et $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{A})$ $\{\begin{array}{c}{E}_x=0\\ E_y=-f^{\prime }(t-\frac{x}{v})\\ E_z=-g^{\prime }(t-\frac{x}{v})\end{array}$

$\{\begin{array}{c}{B}_x=0\\ B_y=\frac{1}{v}{g}^{\prime }(t-\frac{x}{v})\\ B_z=-\frac{1}{v}{f}^{\prime }(t-\frac{x}{v})\end{array}$

On arrive alors à la relation suivante :

Relation entre les champs

Pour une onde plane progressive $\overrightarrow{B}=\frac{1}{v}\overrightarrow{x}\wedge \overrightarrow{E}$