Leçons de niveau 15

Ondes électromagnétiques/Onde plane

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Onde plane
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Chapitre no 3
Leçon : Ondes électromagnétiques
Chap. préc. :Propagation
Chap. suiv. :Onde plane progressive monochromatique

Exercices :

Onde sphérique
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Ondes électromagnétiques/Onde plane
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On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

On a vu que, pour toute composante de ou , les équations de propagation sont de la forme .

On ne sait pas trouver toutes les solutions de cette équation aux dérivées partielles. On va donc en chercher sous une forme particulière.

Dans la suite, on pose . Ainsi, . On expliquera plus loin dans cette page le pourquoi de cette notation.

Début d’un principe
Fin du principe



Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Onde sphérique.


On pourrait tout aussi bien choisir de rechercher les ondes sphériques solution de cette équation de propagation. Ce cas est laissé en exercice.

Calcul[modifier | modifier le wikicode]

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

À présent, on s'interroge sur la forme de s. Comme on sait que l'équation vérifiée par s est une équation de propagation suivant , on a l'idée, au lieu de paramétrer s par , de changer de variables. On pose ainsi deux nouvelles variables :

Étudions ce que devient l'équation de propagation avec ces nouvelles variables :

  • D'après la règle de la chaîne :
  • On obtient:
  • On redérive par rapport à x :


  • On s'attaque maintenant à la dérivée par rapport au temps :
    • On applique la règle de la chaîne :
  • Donc
  • On redérive par rapport au temps :


L'équation de propagation devient alors (après simplification)


Cela implique , c'est-à-dire


Au bout du compte, on trouve :


Interprétation[modifier | modifier le wikicode]

Étudions le cas du terme , l'étude de l'autre terme se menant de manière parfaitement identique.

  • À l'instant t0 et à l'abscisse x0, ce terme prend la valeur .
  • À l'instant , donc un peu plus tard, l'onde s'est propagée. On cherche à quelle abscisse on a .

Cette égalité est vérifiée tout à fait logiquement lorsque (la fonction ƒ appliquée au même nombre va donner le même résultat).

Après développement et simplification, on aboutit à la relation . v est donc la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu étudié.


v étant définie positive, cette onde se propage dans le sens des x croissants.


La solution trouvée plus haut peut alors s'interpréter comme suit :

  • Le terme en correspond à une onde se propageant vers les x croissants à la vitesse v
  • Le terme en correspond à une onde se propageant vers les x décroissants à la vitesse v


Propriétés[modifier | modifier le wikicode]


Transversalité du champ électrique[modifier | modifier le wikicode]

On se place dans la jauge de Coulomb.

Comme est seule fonction de x et t, sa divergence se réduit à .

Or, dans un milieu sans charges, , donc Ex ne dépend pas de x.

Le champ électrique est également défini par .

On projette suivant x : .

On dérive par rapport à t : .

L'équation de propagation du potentiel vecteur dans un milieu sans courants permet d'obtenir .

Comme le potentiel vecteur n'est lui aussi fonction que de x et t, .

Comme, dans la jauge de Coulomb, , on a finalement , soit Ex indépendant de t.

Finalement, Ex est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours d'électrostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.

On aboutit alors à Ex=0.

Transversalité du champ magnétique[modifier | modifier le wikicode]

Comme est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit à .

Or, , donc Bx ne dépend pas de x.

De plus,

On projette suivant x : , donc Bx ne dépend pas de t non plus.

Finalement, Bx est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours de magnétostatique, on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.

On a abouti alors à Bx=0.

Transversalité du potentiel vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Comme est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit dans la jauge de Coulomb à .

Or, , donc Ax ne dépend pas de x.

De plus,

On projette suivant x : , donc Ax ne dépend pas de t non plus.

Finalement, Ax est une constante dans le temps et dans l'espace, et pour les mêmes arguments que précédemment on choisit Ax=0.

Relation entre les champs[modifier | modifier le wikicode]

On suppose désormais travailler avec une onde plane se propageant suivant les croissants.

On part de l’expression des coordonnées du potentiel vecteur :

On obtient alors et grâce aux relations et

On arrive alors à la relation suivante :