Ondes électromagnétiques/Exercices/Propagation dans un plasma

La propagation d'une onde monochromatique plane dans un plasma est un exercice extrêmement classique. La démarche à suivre, les grandes étapes du raisonnement doivent être absolument connues.

Un plasma neutre est constitué d'atomes ionisés dans le vide. On note n la densité volumique d'électrons libres ainsi produits. Les ions positifs, beaucoup plus lourds, seront considérés comme immobiles.

On désire propager une onde électromagnétique plane monochromatique dans ce plasma.

1. Montrer que la propagation est possible à condition d’avoir une certaine relation entre k et ω que l’on déterminera. On fera apparaître une pulsation de coupure caractéristique.
2. Calculer la vitesse de phase $v_{\varphi }={\frac {\omega }{k}}$
3. Calculer la vitesse de groupe $v_{g}=\left.{\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}\right|_{k_{0}}$
4. Calculer numériquement la fréquence caractéristique apparue dans la question 1 dans le cas de l'ionosphère.

Données:

• Charge élémentaire : $e=1,6.10^{-19}\mathrm {~C}$
• Masse de l'électron : $m=9.10^{-31}\mathrm {~kg}$
• $n=10^{12}\mathrm {~m} ^{-3}$ pour l'ionosphère

Solution

1. Dans ce plasma, les équations de Maxwell sont :

• $\mathrm {div} ({\vec {E}})=0$ car l’ensemble est électriquement neutre
• $\mathrm {div} ({\vec {B}})=0$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Pour obtenir la relation de dispersion, on calcule :

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}\\&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial ({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))}{\partial t}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

De plus, en notation complexe, ${\underline {\vec {E}}}={\underline {\vec {E}}}_{0}e^{i(\omega t-kx)}$.

On calcule le laplacien de ${\vec {E}}$:

${\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\underline {\vec {E}}}&=\Delta {\underline {E}}_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta {\underline {E}}_{y}{\vec {u}}_{y}+\Delta {\underline {E}}_{z}{\vec {u}}_{z}\\&={\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\underline {E}}_{0y}e^{i(\omega t-kx)}\right){\vec {u}}_{y}+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\underline {E}}_{0z}e^{i(\omega t-kx)}\right){\vec {u}}_{z}\\&=-k^{2}{\underline {\vec {E}}}_{0}e^{i(\omega t-kx)}\\&=-k^{2}{\underline {\vec {E}}}\end{aligned}}$

En outre, ${\frac {\partial ^{2}{\underline {\vec {E}}}}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}{\underline {\vec {E}}}$

L'égalité $-\mu _{0}{\frac {\partial {\underline {\vec {j}}}}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\underline {\vec {E}}}}{\partial t^{2}}}=-{\vec {\Delta }}{\underline {\vec {E}}}$ devient $-i\omega \mu _{0}{\underline {\vec {j}}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\underline {\vec {E}}}=k^{2}{\underline {\vec {E}}}$

Il nous reste à expliciter ${\underline {\vec {j}}}$. Par définition, ${\underline {\vec {j}}}=-ne{\underline {\vec {v}}}$. Il faut maintenant le relier à ${\underline {\vec {E}}}$. Comme on ne peut pas être certain a priori que la loi d'Ohm puisse s'appliquer, on revient aux bases en appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron du plasma dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen : $m{\frac {\mathrm {d} {\underline {\vec {v}}}}{\mathrm {d} t}}=-e{\underline {\vec {E}}}\Leftrightarrow i\omega m{\underline {\vec {v}}}=-e{\underline {\vec {E}}}$

Ceci aboutit à ${\underline {\vec {v}}}=i{\frac {e{\underline {\vec {E}}}}{m\omega }}$, c'est-à-dire ${\underline {\vec {j}}}=-i{\frac {ne^{2}{\underline {\vec {E}}}}{m\omega }}$

On remplace ${\underline {\vec {j}}}$ par son expression : $-\mu _{0}{\frac {ne^{2}{\underline {\vec {E}}}}{m}}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\underline {\vec {E}}}=k^{2}{\underline {\vec {E}}}$

La relation de dispersion est finalement $k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\mu _{0}ne^{2}}{m}}$

Cette relation de dispersion fait apparaître une fréquence de coupure caractéristique ω_c qui vérifie ${\frac {\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}={\frac {\mu _{0}ne^{2}}{m}}$.

La fréquence de coupure du plasma est $\omega _{c}={\sqrt {\frac {\mu _{0}nc^{2}e^{2}}{m}}}$. La relation de dispersion devient alors $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}$

2. De la relation de dispersion $k^{2}={\frac {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}{c^{2}}}$ on tire $\left({\frac {k}{\omega }}\right)^{2}={\frac {1}{c^{2}}}\left(1-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}\right)$

D'où $v_{\varphi }={\frac {c\omega }{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}}$

3. Toujours en partant de la relation de dispersion, $c^{2}k^{2}+\omega _{c}^{2}=\omega ^{2}$.

On prend la différentielle : $2c^{2}k\,{\rm {d}}k=2\omega \,{\rm {d}}\omega$

Donc ${\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}=c^{2}{\frac {k}{\omega }}={\frac {c^{2}}{v_{\varphi }}}$

$v_{g}={\frac {c}{\omega }}{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}$

4. L'application numérique pour la fréquence de coupure donne f_c=9,02 MHz