Ondes électromagnétiques/Équations fondamentales

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Vocabulaire

Milieu linéaire

Quelques définitions

• Un milieu matériel est dit linéaire si ses perméabilité magnétique et permittivité diélectrique ne dépendent pas des champs appliqués.
• Un milieu matériel est dit homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point.
• Un milieu matériel est dit isotrope si ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions.

Pour plus de détails sur le comportement des milieux matériels soumis à un champ électromagnétique, se reporter au cours d'introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels.

Dans toute la suite de ce cours, on abrégera LHI pour linéaire, homogène et isotrope.

Équations de Maxwell

Début d’un théorème

Équations de Maxwell

Dans un milieu LHI de permittivité diélectrique ε et de perméabilité magnétique μ, le formalisme des ondes électromagnétiques repose sur quatre équations fondamentales, les équations de Maxwell:

• $\mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon }}$
• $\mathrm {div} ({\vec {B}})=0$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Fin du théorème

Jauges usuelles

À partir d'un état donné du champ électromagnétique $({\vec {E}},{\vec {B}})$, on peut définir plusieurs potentiels $(V,{\vec {A}})$. On peut prouver l’existence de « jauges », c'est-à-dire de contraintes que l’on peut imposer aux potentiels sans restreindre la généralité du problème.

Jauge de Lorenz

Début d’un théorème

Jauge de Lorenz

Dans un milieu LHI, quel que soit le couple $({\vec {E}},{\vec {B}})$, il est possible de trouver un couple $(V,{\vec {A}})$ tel que $\mathrm {div} ({\vec {A}})+\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}=0$

Fin du théorème

Jauge de Coulomb

Début d’un théorème

Jauge de Coulomb

Dans un milieu LHI sans charges ni courants, la jauge de Lorenz devient la jauge de Coulomb : ${\begin{cases}\mathrm {div} ({\vec {A}})=0\\V=0\end{cases}}$

Fin du théorème