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Exercice : Onde sphériqueOndes électromagnétiques/Exercices/Onde sphérique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Δ
s
=
1
c
2
∂
2
s
∂
t
2
{\displaystyle \Delta s={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}}
Chercher les solutions correspondant à une onde sphérique de centre O, c'est-à-dire de la forme
s
=
s
(
r
,
t
)
{\displaystyle s=s(r,t)}
s
(
r
,
t
)
=
1
r
Ψ
(
r
,
t
)
{\displaystyle s(r,t)={\frac {1}{r}}\Psi (r,t)}
Note : Le laplacien en coordonnées sphériques vaut :
Δ
s
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
s
∂
r
)
+
1
r
2
sin
(
θ
)
∂
∂
θ
(
sin
(
θ
)
∂
s
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
(
θ
)
∂
2
s
∂
φ
2
{\displaystyle \Delta s={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial s}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial s}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial \varphi ^{2}}}}
Solution
Commençons par calculer le laplacien de s :
r
2
∂
s
∂
r
=
r
2
∂
∂
r
(
1
r
Ψ
(
r
,
t
)
)
=
r
2
∂
(
1
r
)
∂
r
Ψ
(
r
,
t
)
+
r
∂
Ψ
∂
r
=
−
Ψ
(
r
,
t
)
+
r
∂
Ψ
∂
r
{\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}{\frac {\partial s}{\partial r}}&=r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\Psi (r,t)\right)\\&=r^{2}{\frac {\partial ({\frac {1}{r}})}{\partial r}}\Psi (r,t)+r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\\&=-\Psi (r,t)+r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\\\end{aligned}}}
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
s
∂
r
)
=
1
r
2
∂
∂
r
(
−
Ψ
(
r
,
t
)
+
r
∂
Ψ
∂
r
)
=
−
1
r
2
∂
Ψ
∂
r
+
1
r
2
(
∂
Ψ
∂
r
+
r
∂
2
Ψ
∂
r
2
)
=
1
r
∂
2
Ψ
∂
r
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial s}{\partial r}}\right)&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-\Psi (r,t)+r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\\&=-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+r{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}
Les autres termes du laplacien sont nuls, donc
Δ
s
=
1
r
∂
2
Ψ
∂
r
2
{\displaystyle \Delta s={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}}
De plus, l'équation de propagation donne :
Δ
s
=
1
c
2
∂
2
s
∂
t
2
=
1
r
1
c
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta s&={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
On arrive finalement à l'équation de propagation suivante :
1
c
2
∂
2
Ψ
∂
t
2
=
∂
2
Ψ
∂
r
2
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}}
On sait alors que
Ψ
(
r
,
t
)
=
f
(
t
−
r
c
)
+
g
(
t
+
r
c
)
{\displaystyle \Psi (r,t)=f\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)}
Les solutions à l'équation de propagation sous les conditions de l'énoncé sont alors de la forme
s
(
r
,
t
)
=
1
r
(
f
(
t
−
r
c
)
+
g
(
t
+
r
c
)
)
{\displaystyle s(r,t)={\frac {1}{r}}\left(f\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\right)}
