Notions de thermodynamique relativiste/Introduction

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Au début du XX^e siècle, la Relativité restreinte et la Relativité générale ont été développées par Albert Einstein. Le principe de relativité générale ( ou principe de covariance ) dit que les lois physiques s'expriment de manière identique dans tous les référentiels. On dit que ces lois sont « covariantes ». Le référentiel est constitué par un repère spatial (base orthonormée) et d'une chronologie (coordonnée temporelle t).

En relativité, la notion d’observateur qui va décrire les processus qui vont se dérouler dans le référentiel est importante.

Masse

La masse d'un objet semble simple à définir mais la notion de masse n'est pas triviale ( voir la note à la fin de la page ).

La physique moderne montre que la notion de masse utilisée dans les conditions de l'expérience courante ne peut pas l'être en physique quantique ou en mécanique relativiste.

On distingue parfois la « masse grave » qui intervient dans la gravitation et qui est une qualité intrinsèque à la matière et la « masse inerte » qui caractérise la difficulté à mettre un objet en mouvement.

En mécanique newtonienne, les deux masses sont égales.

En relativité restreinte, la résistance d'un corps quand on veut lui appliquer une variation de vitesse, devient d'autant plus grande que cette vitesse se rapproche de celle de la lumière.

La « masse au repos » mo de la matière (i.e. quand la vitesse v est nulle) est une propriété intrinsèque de l'objet et est indépendante du repère où on la mesure.

On écrit souvent: ${\begin{array}{lcl}m=m(v)={\frac {m_{o}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}={\frac {m_{o}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\qquad {\text{où on a posé}}\qquad \beta =v/c\\{\text{attention = on introduit alors une nouvelle variable}}~~m~~{\text{qui représente l'inertie de l'objet à une augmentation de vitesse.}}\\{\text{Cette écriture pourrait faire croire que la masse de l'objet change avec la vitesse ce qui est FAUX.}}\end{array}}$

^{[réf. nécessaire]}

Il est très important de bien distinguer la masse au repos $m_{o}$ et la masse relativiste (ou masse inertielle) m.

$m_{o}$ est la masse des particules qui reste constante (sauf si des phénomènes de transfert masse/énergie interviennent). m (masse inertielle) augmente avec la vitesse.

Énergie

La formule d'Einstein permet de calculer l'énergie:

$E^{2}=m_{o}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}$

où p est la quantité de mouvement.

Dans un référentiel R_o où un corps C (point matériel ou système complexe) est au repos avec v = 0 (donc p = 0) , l'énergie de C au repos est :

$E_{o}=m_{o}~c^{2}$

où m_o est la masse et c la vitesse de la lumière.

La masse est donc une forme d'énergie, appelée énergie de masse.

L’énergie totale de C avec une vitesse ${\textstyle v}$ mesurée dans un référentiel R est :

$E(v)={\frac {m_{o}c^{2}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}={\frac {m_{o}c^{2}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\qquad {\text{où on a posé}}\qquad \beta =v/c$

L'impulsion ${\textstyle p}$ dans le référentiel R est:

${\vec {p}}={\frac {m_{o}{\vec {v}}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}=={\frac {m_{o}{\vec {v}}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

On pose $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

$\gamma$ est le facteur de Lorentz.

alors

$E(v)=\gamma ~m_{o}~c^{2}$

En Dynamique relativiste, l'énergie cinétique est l'accroissement de l'énergie due à la vitesse :

$\mathrm {{\acute {E}}nergie~cin{\acute {e}}tique} =E_{cinet}=E-m_{o}c^{2}=m_{o}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}-1\right)=m_{o}c^{2}\left(\gamma ~-1\right)$

La masse est invariante par changement de référentiel (elle est la même dans tout référentiel). L'énergie au contraire dépend du référentiel choisi.

Énergie en présence d'un champ électromagnétique

Les effets d'un champ électromagnétique peuvent être exprimés à l'aide d'un potentiel scalaire $\phi$ et d'un potentiel vecteur ${\vec {A}}$. L'interaction d'une particule de charge e avec le champ donne une énergie:

$E_{tot}=E+e~\phi =\gamma m_{o}c^{2}+e~\phi ={\sqrt {m_{o}^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}+e\ \phi$

L'entropie

L'invariance relativiste de l'entropie est une des bases de la thermodynamique relativiste.

L'entropie S est un invariant relativiste.

Invariants relativistes

Invariants relativistes

En relativité, une quantité est un invariant relativiste ( ou encore invariante de Lorentz, ou scalaire de Lorentz ) quand elle n'est pas modifiée par une transformation de Lorentz.
Sa valeur est donc la même dans tous les référentiels galiléens.

Parmi les invariants relativistes, on a = la pression, la charge électrique, l'action hamiltonienne, etc ...

En relativité restreinte, on introduit la métrique de l’espace-temps:

$s^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}-c^{2}.(t_{2}-t_{1})^{2}=d^{2}-c^{2}.(t_{2}-t_{1})^{2}$ qui est un invariant.

$s^{2}$ est le carré d'un intervalle dans l’espace-temps ( espace à quatre dimensions où les coordonnées sont x, y, z et ct ). $d$ serait la distance en géométrie euclidienne. Un observateur placé dans une fusée en mouvement et un observateur sur terre vont voir un intervalle s identique mais ils vont en général mesurer des valeurs différentes pour la distance spatiale d et pour la distance temporelle $(t_{2}-t_{1})$.

Durée propre et durée impropre

Considérons, par exemple, un observateur dans une fusée (référentiel galiléen ${\mathfrak {R}}$) et un observateur placé sur terre (référentiel galiléen ${\mathfrak {R}}'$).

L’intervalle de temps entre deux événements 1 et 2 sont calculés soit dans le référentiel ${\mathfrak {R}}$ soit dans le référentiel ${\mathfrak {R}}'$:

• $\Delta t_{0}=t_{02}-t_{01}$ est la durée propre mesurée dans ${\mathfrak {R}}$. C’est une durée propre puisque la mesure de l’intervalle de temps se fait au même lieu et par la même horloge au repos dans ${\mathfrak {R}}$.
• $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ est une durée impropre puisque c'est un intervalle de temps entre deux événements se produisant en deux lieux différents de ${\mathfrak {R}}'$ et mesuré par deux horloges distinctes $\mathbb {H} _{1}$ et $\mathbb {H}$'$_{2}$ au repos dans ${\mathfrak {R}}$’. On a ∆t’ = γ.∆t₀.

remarques sur les durées

• Le terme « durée impropre » est aussi parfois désigné par « durée mesurée » (voir le programme officiel de terminal des lycées français).
• voir aussi: Relativité restreinte/Démonstration de la transformation de Lorentz
• voir aussi: Relativité restreinte/Paradoxe des jumeaux de Langevin
• voir les exercices.

Notes

• En physique moderne, on considère qu'une particule a fondamentalement une masse nulle par elle-même. Le boson de Higgs est dans la théorie du modèle standard, considéré comme responsable de l'acquisition de masse par les particules. La masse m_o apparaît donc à présent comme une constante associée au quantum que décrit la fonction d'onde ψ associée à la particule. Le boson de Higgs est donc responsable de la masse de toutes les particules élémentaires. C'est l'interaction de la particule avec le vide quantique qui la freine plus ou moins, i.e. qui lui donne une masse plus ou moins grande.

Exercices

Faites ces exercices : Relativité.