Notions de thermodynamique relativiste/Exercices/Relativité

Exercice 1 : durées propres et impropres

On imagine qu’un des jumeaux d'Einstein se déplace dans une fusée selon une trajectoire rectiligne avec vitesse constante (v = 200 000 km/s) par rapport à la Terre. Depuis la fusée, le jumeau A envoie à l'autre jumeau B qui est sur la Terre, un signal lumineux périodique. La fréquence d’émission f est de 10 Hz. Le référentiel lié à la fusée ${\mathfrak {R}}$ et le référentiel terrestre ${\mathfrak {R}}'$ sont supposés galiléens.

1- Faire le bilan des événements à considérer pour étudier la période du signal lumineux envoyé par la fusée et la période du signal lumineux vu sur terre ? Définir les différentes durées entre ces évènements.

2- Quelle est la période propre de ce signal lumineux ?

3- Quelle est la période mesurée de ce signal par le jumeau B resté sur Terre ?

Solution

1) Bilan des évènements:

- émission du premier signal lumineux (n) par le jumeau A au repos dans (${\mathfrak {R}}$) (évènement E1)

- émission du deuxième signal lumineux (n+1) par le jumeau A au repos dans (${\mathfrak {R}}$) (évènement E2)

- réception du premier signal lumineux par le jumeau B au repos dans (${\mathfrak {R}}'$) (évènement E3)

- réception du deuxième signal lumineux par le jumeau B au repos dans (${\mathfrak {R}}'$) (évènement E4)

Définir les différentes durées entre ces évènements:

L’intervalle de temps entre les événements E1 et E2 peut être étudié soit dans le référentiel ${\mathfrak {R}}$ soit dans le référenciel ${\mathfrak {R}}'$:

• $\Delta t_{0}=t_{02}-t_{01}$ est la période d’émission du signal émis par A mesurée dans ${\mathfrak {R}}$.
  C’est une durée propre puisqu’elle correspond à l’intervalle de temps entre deux événements se produisant au même lieu et mesuré par la même horloge $\mathbb {H}$$_{0}$ au repos dans ${\mathfrak {R}}$.
• $\Delta t'=t'_{2}-t'_{1}$ est la période d’émission du signal émis par A mesurée dans ${\mathfrak {R}}'$.
  C'est une durée impropre puisque c'est l’intervalle de temps entre deux événements qui se produisent en deux lieux différents de ${\mathfrak {R}}'$ et qui sont mesurées par deux horloges distinctes $\mathbb {H}$’$_{1}$ et $\mathbb {H}$’$_{2}$ au repos dans ${\mathfrak {R}}'$.
  On a $\Delta t'=\gamma .\Delta t_{0}$ ( $\gamma$ est le facteur de Lorentz tel que $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ ) .

L’intervalle de temps entre les événements E3 et E4 mesuré par B dans le référentiel ${\mathfrak {R}}'$ est:

• $\Delta t'_{0}=t'_{02}-t'_{01}$ . C'est la période de réception du signal émis par A et mesurée par B dans ${\mathfrak {R}}'$.
  C'est une durée propre car c'est l’intervalle de temps entre deux événements qui se produisent en un même lieux ${\mathfrak {R}}'$ et qui sont mesurés par une seule horloge $\mathbb {H}$’$_{0}$ au repos dans ${\mathfrak {R}}'$.

2) Quelle est la période propre de ce signal lumineux ?

La période propre de ce signal lumineux est celle mesurée à bord de la fusée :

$\Delta t_{0}=1/f=1/10=0,1$ s

3) Quelle est la période mesurée de ce signal par le jumeau B resté sur Terre ?

Le jumeau B resté sur Terre (${\mathfrak {R}}'$) mesure l’intervalle de réception entre deux signaux, c’est-à-dire celui entre les événements E3 et E4, avec son horloge ( $\mathbb {H}$’$_{0}$ ) et on a donc: $\Delta t'_{0}=t'_{02}-t'_{01}$.

Nous ne pouvons pas écrire $\Delta t'_{0}=\gamma .\Delta t$ car ici, il faut étudier les évènements E3 et E4.

Dans le référentiel ${\mathfrak {R}}'$, l’instant de réception $t'_{01}$ du signal (n) est égal à celui de son émission $t'_{1}$ auquel il faut ajouter la durée de propagation entre A et B. Donc :

$t'_{01}=t'_{1}+x'_{1}/c$ où $x$ est la distance entre A et B et $c$ la vitesse de la lumière.

Pour le deuxième signal (n+1), on a :

$t'_{02}=t'_{2}+x'_{2}/c$

Entre $x'_{1}$ et $x'_{2}$, on a la relation:

$x'_{2}=x'_{1}+v.(t'_{2}-t'_{1})$

Soit:

$\Delta t'_{0}=t'_{02}-t'_{01}=(t'_{2}-t'_{1}).(1+v/c)=\Delta t'.(1+v/c)$

Comme $\Delta t'=\gamma .\Delta t_{0}$ :

$\Delta t'_{0}=\gamma .\Delta t_{0}.(1+v/c)$

$\Delta t'_{0}$ est la période du signal reçu sur terre et $\Delta t_{0}$ est la période du signal émis par la fusée.

Exprimons $\gamma$ :

$\Delta t'_{0}=\Delta t_{0}.{\frac {1}{\sqrt {(1+v^{2}/c^{2})}}}.(1+v/c)=\Delta t_{0}.{\frac {(1+v/c)}{\sqrt {(1+v/c)(1-v/c)}}}$

$\Delta t'_{0}=\Delta t_{0}.{\frac {{\sqrt {(1+v/c)}}.{\sqrt {(1+v/c)}}}{\sqrt {(1+v/c)(1-v/c)}}}=\Delta t_{0}.{\frac {\sqrt {(1+v/c)}}{\sqrt {(1-v/c)}}}$ : « effet Doppler relativiste ».

Avec v/c = 200 000/300 000 = 0,67 , la période du signal reçu sur terre est:

$\Delta t'_{0}=0,1~s~.{\frac {\sqrt {(1+0,67)}}{\sqrt {(1-0,67)}}}=0,225~$ s

alors qu’à l’émission, cette période était de 0,1 s dans la fusée.