Relativité restreinte/Démonstration de la transformation de Lorentz

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La transformation de Lorentz se distingue essentiellement de celle de Galilée par l’introduction de la relativité du temps qui fait que la vitesse absolue n'est plus simplement la somme de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement. Le référentiel R, dit de l’observateur, considéré en général comme immobile, correspond au référentiel absolu de la cinématique classique, R’ au référentiel relatif et v à la vitesse d’entraînement. On se limite généralement à deux dimensions en faisant coïncider le vecteur vitesse avec l’axe des abscisses de sorte que les coordonnées y et z n'interviennent pas. La démonstration présentée ici est concise. On trouvera plus de détails dans le livre d'Einstein ou ailleurs Comme la transformation de Galilée, celle de Lorentz est linéaire c'est-à-dire que la vitesse relative v des référentiels R et R' doit être constante : on dit qu’ils sont inertiels ou galiléens. La vitesse de la lumière doit être indépendante de celle de la source (c constante dans les référentiels inertiels). Selon le principe de relativité aucun référentiel galiléen n'est privilégié.

Pour obtenir la transformation de Lorentz, on utilise des référentiels galiléens, ce qui se traduit par une transformation linéaire. Ensuite on applique l'indépendance de la vitesse de la lumière et du référentiel. Enfin le principe de relativité.

Référentiels galiléens

En cinématique classique, le déplacement total x dans le référentiel R est la somme du déplacement relatif x’ dans le référentiel R’ et du déplacement d'entraînement vt du référentiel R’ par rapport à R à la vitesse v : x = x’+vt ou x’=x-vt. Cette relation est linéaire lorsque la vitesse v est constante, c'est-à-dire lorsque les référentiels R et R' sont galiléens. Le temps est le même dans chacun des référentiels R et R’, ce qui n’est plus le cas en relativité restreinte où t ≠ t’. La relation linéaire la plus générale possible, c’est-à-dire avec quatre coefficients constants γ, δ, ε et v est: $x'=\gamma (x-vt)\qquad t'=\gamma (\epsilon t+\delta x)\quad avec\quad \gamma >0,\epsilon >0$ On peut écrire ces équations sous forme matricielle ${\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{bmatrix}1&-v/c\\\delta c&\epsilon \end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\qquad 1)$. La transformation de Lorentz devient celle de Galilée pour γ=1, δ=0, ε=1.

Vitesse de la lumière indépendante de celle de la source

La lumière n’est pas soumise à la vitesse d'entraînement, comme l'a montré l'expérience de Michelson. Pour que la vitesse c de la lumière soit constante quel que soit le référentiel, on doit avoir x = ct si x’ = ct’.En remplaçant x et x' dans les deux équations 1) on tire: $ct'=\gamma (c-v)t\quad ct'=\gamma c^{2}(\delta +\epsilon /c)t$ et en égalant les deux seconds membres et en simplifiant par γc²t on obtient δ par la relation $\delta ={\frac {1-\epsilon }{c}}-{\frac {v}{c^{2}}}\qquad 2)$

On verra dans la démonstration qui suit qu’il y aura lieu de dédoubler δ en $\delta _{R}\quad et\quad \delta _{R'}$

Principe de relativité

D’après le principe de relativité, il n’y a pas de référentiel galiléen privilégié, en particulier pour la lumière. On doit donc trouver la même relation, que l’on passe de R à R’ ou l’inverse, de R’ à R. Toutefois, si on ne change pas le sens des axes de coordonnées, la vitesse v doit changer de signe. En effet, si R est immobile et que la vitesse de R’ par rapport à R est v, positive, R’ s’éloigne de R. Si, maintenant, on considère que R’ est immobile, R s’éloignant toujours de R’, le déplacement devra être en sens opposé : la vitesse de R est alors négative.

A---La relation 1) conduit vers l’expression 3) suivante: ${\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}=A_{R}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}\qquad avec\qquad A_{R}=\gamma {\begin{bmatrix}1&-v\\\delta _{R}&\epsilon \end{bmatrix}}\qquad 3)$

ou l'indice R rappelle que le référentiel R est considèré comme fixe. On tire de 3) par inversion: ${\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}=A_{R}^{-1}{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}\quad avec\quad A_{R}^{-1}={\frac {1}{\gamma D}}{\begin{bmatrix}\epsilon &+v\\-\delta _{R}&1\end{bmatrix}}\qquad D=\epsilon +v\delta _{R}\qquad 4)\quad et\quad selon\quad 2)\qquad \delta _{R}={\frac {1-\epsilon }{c}}-{\frac {v}{c^{2}}}\qquad 5)$

B---En supposant maintenant que c’est le référentiel R' qui est fixe,conformément au principe de relativité, les expressions de x et t doivent s'écrire: ${\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}=A_{R'}{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}\quad avec\quad A_{R'}=\gamma {\begin{bmatrix}1&+v\\\delta _{R'}&\epsilon \end{bmatrix}}\qquad 6)\qquad l'expression\quad 2)\quad prend\quad maintenant\quad la\quad forme\qquad \delta _{R'}={\frac {1-\epsilon }{c}}+{\frac {v}{c^{2}}}\qquad 7)$

C--Les deux relations 4) et 6) doivent ainsi être vérifiées quelles que soient x' et t'. Ceci impose que les deux matrices $A_{R}^{-1}\quad et\quad A_{R'}$ soient identiques. Il en résulte que les quatre égalités 8), 9), 10), 11) suivantes doient être simultanément satisfaites: ${\frac {\epsilon }{\gamma D}}=\gamma \qquad 8)\qquad {\frac {v}{\gamma D}}=\gamma v\qquad 9)\qquad {\frac {-\delta _{R}}{\gamma D}}=\gamma \delta _{R'}\qquad 10)\qquad {\frac {1}{\gamma D}}=\gamma \epsilon \qquad 11)$

8) et 11) conduisent à γ²=ε/D et γ²=1/(εD). L'équation 9) conduit à γ²=1/D. L'équation 10) conduit à $\gamma ^{2}={\frac {1}{D}}{\frac {-\delta _{R}}{\delta _{R'}}}$

On constate qu’il est possible de définir les constantes de façon à garantir l'identité des deux matrices $A_{R}^{-1}\quad et\quad A_{R'}$ en choisissant $\epsilon =1\quad et\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {D}}}$.En conséquence, selon 5) et 7), $-{\frac {\delta _{R}}{\delta _{R'}}}=1$. Ainsi la relation 10) est cohérente avec les trois autres.

Expression de la transformation de Lorentz

La relation 5) devenant $\delta _{R}=-{\frac {v}{c^{2}}}\qquad D=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\qquad et\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad 12)$

la transformation de Lorentz 1) s'écrit finalement: ${\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{bmatrix}1&-v/c\\-v/c&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\qquad ou\quad encore\quad {\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}=L{\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}\qquad 13)$

ou inversement ${\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}={\frac {1}{\gamma (1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}}{\begin{bmatrix}1&v/c\\v/c&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}\qquad et\quad comme\quad {\frac {1}{\gamma (1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\quad selon\quad 12)$ ceci représente aussi $\gamma$

Pour finir ${\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{bmatrix}1&v/c\\v/c&1\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}\qquad ou\quad encore\quad {\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}}=L^{-1}{\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix}}\qquad 14)$

On note que L et $L^{-1}$ sont des matrices symétriques de déterminant égal à 1. On peut expliciter 13) et 14) sous les formes suivantes, à deux dimensions: $x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\qquad t={\frac {t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ La transformation inverse de Lorentz s'écrit , en utilisant le facteur de Lorentz γ: $x'=\gamma (x-vt)\qquad t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}})$

La véritable base de la relativité restreinte est la transformation de Lorentz qui généralise celle de Galilée aux vitesses non négligeables par rapport à celle de la lumière. Elle exprime la transformation des déplacements et du temps qui dépendent tous deux de la vitesse relative entre les référentiels R et R'.

Dilatation du temps

Soit une horloge immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La cadence de cette horloge est Δt’ au repos, dans son référentiel propre R' et Δt vue de R. Comme elle est immobile par rapport à R', sa position y est fixe, par exemple, Δx'=0. On choisit, parmi les quatre équations de la transformation de Lorentz, celle qui contient à la fois t, t' et x': $\mathbf {\Delta t} ={\frac {\Delta t'+{\frac {v\Delta x'}{c^{2}}}}{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\mathbf {\frac {\Delta t'}{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ L’intervalle entre deux battements d’horloge apparaît plus important sur une horloge en mouvement à un observateur au repos. Il devient infini lorsque la vitesse de l’horloge atteint celle de la lumière. Le temps de l’horloge en mouvement ne s’écoule plus (pour l’observateur distant seulement). Une particule de durée de vie limitée, par exemple un méson, a une durée de vie apparente bien plus grande si elle se déplace à très grande vitesse.

Supposons maintenant que l’observateur se place en R’ et regarde une pendule placée en R. On aura exactement la même formule, mais t et t’ seront permutés. En effet, le mouvement est relatif, il n’y a pas de mouvement absolu mais symétrie entre deux référentiels galiléens.

Contraction des longueurs

Soit une règle immobile dans un référentiel R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel R où se trouve un observateur. La longueur au repos de cette règle est Δx' pour un observateur dans R’. Elle apparaît sous une longueur Δx pour un observateur dans R. Pour faire cette mesure, l’observateur dans R fait une photo en instantané, c’est-à-dire, par exemple, à l'instant t = 0. Il prend un cliché de la règle en mouvement, de longueur Δx qu’il compare à Δx’, longueur de la même règle au repos. Il connaît donc Δx, Δx’ et Δt=0. La relation de Lorentz à utiliser, où ces variables apparaissent est : $\Delta x'={\frac {\Delta x-v\Delta t}{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {\Delta x}{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ La formule a la même forme que pour le temps, sauf qu’à gauche on a maintenant x' au lieu de t, ce qui fait que les longueurs se contractent alors que le temps se dilate, ce qui s'écrit généralement: $\mathbf {\Delta x=\Delta x'{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$