Leçons de niveau 17

Notions de thermodynamique relativiste/Gaz parfait relativiste

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Gaz parfait relativiste
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Chapitre no 3
Leçon : Notions de thermodynamique relativiste
Chap. préc. :Quantité de chaleur relativiste
Chap. suiv. :Distribution de Maxwell–Jüttner
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Notions de thermodynamique relativiste/Gaz parfait relativiste
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On considère ici des particules qui se déplacent avec une très grande vitesse sans interactions. On est donc en présence d'un gaz parfait relativiste.


L' énergie totale d'une particule dans le référentiel du laboratoire, (i.e. celui par rapport auquel la particule est animée de la vitesse puisque l'énergie dépend du référentiel) est :


L'énergie totale d'une particule est égale à la somme de l'énergie au repos mc2 contenue dans sa masse et de l'énergie cinétique .
L'énergie cinétique d'une particule est donc donnée par l'expression :


L'impulsion dans le référentiel du laboratoire est:


Relation des gaz parfaits[modifier | modifier le wikicode]

La relation PV = NkT ou PV = nRT reste valable pour le gaz parfait relativiste.

où : T est la température ; N le nombre de particules du gaz ; V le volume occupé par le gaz ; k la constante de Boltzman ; n le nombre de moles et R la constante des gaz parfaits.

Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce
K2(X) : - • - • - • -

Fonction de partition Z du gaz parfait relativiste monoatomique[modifier | modifier le wikicode]

Outre l'énergie correspondant à la masse m, dans un gaz parfait monoatomique, l'énergie de translation et l'énergie interne (i.e. énergie nucléaire et énergie électronique) vont intervenir. La fonction de partition d'une espèce sera alors de la forme:

,

La fonction de partition d'une particule relativiste est[1].:

,

où : m est la masse de chaque particule ; c la vitesse de la lumière ; h la constante de Planck ;

,
Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, ( voir Fonction de Bessel modifiée sur Wikipédia )


La fonction de partition canonique du gaz parfait relativiste monoatomique s'obtient alors par

,

Calcul des grandeurs thermodynamiques relativistes d'un gaz parfait monoatomique[modifier | modifier le wikicode]

L'énergie libre F se calcule à partir de la relation F(T,V,N) = - kT Ln Z(T,V,N). La contribution de la translation à énergie libre Ftrans est alors:


F = U - TS
G = U - TS + PV = F + PV = F + NkT donc

La contribution de la translation à enthalpie libre Gtrans est alors:

D'autre part, G = μ.N

donc,


La contribution de la translation à l'entropie S se calcule par


Comme U = F + T.S , alors:


Le gaz parfait non relativiste (classique) correspond à alors:

Pour le gaz parfait ultrarelativiste, alors

L'enthalpie H se calcule à partir de H = U + PV = U + NkT , soit:

Pour le gaz parfait classique:

Pour le gaz parfait ultrarelativiste:

Les capacités calorifiques sont:

Dans les conditions non relativistes (classiques), on aura:

et pour des conditions ultrarelativistes,


Pour CP, on aura:

Dans les conditions non relativistes (classiques), on aura:

et pour des conditions ultrarelativistes,

Cas des gaz parfaits multiatomiques[modifier | modifier le wikicode]

Ici, outre l'énergie correspondant à la masse m, dans un gaz parfait multiatomique, les contributions à l'énergie seront: la translation, la rotation, la vibration et l'énergie interne (électronique et nucléaire). La fonction de partition d'une espèce sera alors de la forme:

,


  • suite à venir

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  • (w:Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce)
  • Le nombre d'Avogadro est égal à NA = 6,022 140 857 × 1023 mol−1 (nombre de particules dans une mole).
  •  ; d'où

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Greiner Walter, Neise Ludwig et Stöcker Horst, Thermodynamique et mécanique statistique, Springer (1999) - p.269-274