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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Matrice : Définition Matrice/Définition », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Ce chapitre introduit la notion de matrice, et d'ensemble de matrices. Nous précisons les notations usuelles et définissons les termes.
Notations générales
Soit
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
a
n
)
{\displaystyle \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,a_{n}\right)}
(
a
i
)
i
∈
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in \left[\![1,n]\!\right]}}
n étant un entier positif.
De manière similaire, si
(
a
1
,
1
,
a
1
,
2
…
,
a
1
,
n
,
a
2
,
1
,
a
2
,
2
,
…
,
a
2
,
n
,
…
,
a
m
,
1
,
a
m
,
2
…
,
a
m
,
n
)
{\displaystyle \left(a_{1,1},a_{1,2}\ldots ,a_{1,n},a_{2,1},a_{2,2},\ldots ,a_{2,n},\ldots ,a_{m,1},a_{m,2}\ldots ,a_{m,n}\right)}
(
a
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle \left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}
m et n étant deux nombres entiers positifs.
Rappelons que
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
corps des nombres réels et celui des nombres complexes. La notation K désignera indifféremment l'un ou l'autre de ces deux corps, ou tout autre anneau (c'est-à-dire, pour résumer, qu'on sait additionner et multiplier entre eux les éléments de K ).
Définitions
Une matrice à coefficients dans K est une famille
(
a
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle \left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}
K .
Les nombres m et n sont appelés dimensions de la matrice. On dit qu'une matrice est de taille m × n (lire « m fois n »).
Les éléments
a
i
,
j
{\displaystyle a_{i,j}}
coefficients de la matrice.
Notation des matrices et définitions
Une matrice
A
=
(
a
i
,
j
)
(
i
,
j
)
∈
[
[
1
,
m
]
]
×
[
[
1
,
n
]
]
{\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}
A
=
(
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
⋯
a
1
,
n
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
⋯
a
2
,
n
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
,
1
a
m
,
2
a
m
,
3
⋯
a
m
,
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ &\vdots \\\vdots &\vdots &\ &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&a_{m,3}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}}
L’ensemble des matrices de dimensions données à coefficients dans K est noté
M
m
,
n
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}
L'ensemble
M
n
,
n
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{n,n}\left(K\right)}
M
n
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{n}\left(K\right)}
Début de l'exemple
Exemples
(
1
2
3
4
5
6
7
8
)
,
(
1
2
3
4
5
6
7
8
)
,
(
1
2
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\7&8\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\end{pmatrix}},\qquad {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}}
La matrice
A
=
(
a
i
j
)
∈
M
3
{\displaystyle A=(a_{ij})\in \mathrm {M} _{3}}
∀
i
,
j
;
1
≤
i
,
j
≤
3
{\displaystyle \forall i,j;\,1\leq i,j\leq 3}
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
a
i
j
=
3
i
−
j
2
{\displaystyle a_{ij}=3i-j^{2}}
A
=
(
2
−
1
−
6
5
2
−
3
8
5
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1&-6\\5&2&-3\\8&5&0\end{pmatrix}}}
Fin de l'exemple
i sont donc les numéros de lignes, de haut en bas, et les j les numéros de colonnes, de gauche à droite.
Il est très important d’avoir bien compris cet ordre, qui n’est pas totalement arbitraire. Inverser i et j a des conséquences sur la matrice.
On appelle hauteur de la matrice le nombre m de lignes, et largeur de la matrice le nombre n de colonnes.
Quelques cas particuliers qui nous intéressent :
une matrice de largeur n = 1 est appelée vecteur , ou plus spécifiquement vecteur colonne ;
une matrice de hauteur m = 1 est appelée vecteur ligne ;
une matrice telle que m = n est appelée matrice carrée . Il existe une notation alternative des matrices, entre crochets au lieu de parenthèses, mais que nous n'emploierons pas dans le cadre de cette leçon :
A
=
[
a
1
,
1
a
1
,
2
a
1
,
3
⋯
a
1
,
m
a
2
,
1
a
2
,
2
a
2
,
3
⋯
a
2
,
m
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
,
1
a
n
,
2
a
n
,
3
⋯
a
n
,
m
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ &\vdots \\\vdots &\vdots &\ &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots &a_{n,m}\end{bmatrix}}}
Cette notation est parfois plus lisible quand les coefficients de la matrice sont eux-mêmes des expressions comportant des parenthèses.
![{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in \left[\![1,n]\!\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55892a197f1335df54c9e4ccd76f64eb6bd3c366)
![{\displaystyle \left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d46db2cfcd3eb1bfd5f1783cfd821e92a4b780e)
![{\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f482e29d1d15f396da717ea1a38e56c3b01c8c)
