Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique

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Somme d'une suite de nombres en progression géométrique

La base des mathématiques financières repose essentiellement sur les lois concernant les suites arithmétiques et géométriques. La plupart des calculs découleront de ces notions de base.

Pour plus de détails concernant ces deux types de suites, on pourra se référer au cours sur les suites numériques.

Rappel : somme des n premiers termes d'une suite géométrique

La somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q\neq 1$ est donnée par la formule :

$1+q+q^{2}+\dots +q^{n-2}+q^{n-1}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}$.

Valeur acquise d'une suite de versements

Cette section concerne les placements par versements fixes à taux fixe.

Début d’un théorème

Théorème

La valeur acquise d'une suite de $n$ versements d'un montant $a$ au taux $i$ est égale à :

$V_{acq}=a\;{\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Au moment du $n$-ième versement, la durée de placement du $k$-ième versement a été de $n-k$ périodes donc (cf. chapitre précédent), sa valeur acquise est $a\left(1+i\right)^{n-k}$.

On applique donc à $q:=1+i$ le rappel sur les suites géométriques (voir supra), pour calculer la somme des valeurs acquises de tous les versements :

${\begin{aligned}V_{acq}&=aq^{n-1}+aq^{n-2}+\dots +aq+a\\&=a\left(1+q+\dots +q^{n-2}+q^{n-1}\right)\\&=a\;{\frac {q^{n}-1}{q-1}}\\&=a\;{\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{1+i-1}}\\&=a\;{\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}.\end{aligned}}$

 

On a donc, en inversant la formule :

Corollaire

Pour que la valeur acquise d'une suite de $n$ versements fixes au taux $i$ soit égale à $V_{acq}$, le montant de chaque versement doit être égal à :

$a=V_{acq}\;{\frac {i}{\left(1+i\right)^{n}-1}}$.

Valeur actuelle d'une suite de versements

Cette section concerne les remboursements d'emprunts par versements fixes à taux fixe.

On rembourse au terme de chaque période selon le schéma suivant :

Début d’un théorème

Théorème

La valeur actuelle d'une suite de $n$ versements d'un montant $a$ au taux $i$ est égale à :

$V_{act}=a\;{\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}}$.

Fin du théorème

Démonstration

On a vu au chapitre précédent que la valeur actuelle du $k$-ième versement est $a\left(1+i\right)^{-k}$.

On applique donc à $q:=\left(1+i\right)^{-1}$ le rappel sur les suites géométriques (voir supra), pour calculer la somme des valeurs actuelles de tous les versements :

${\begin{aligned}V_{act}&=aq+aq^{2}+\dots +aq^{n-1}+aq^{n}\\&=aq\left(1+q+\dots +q^{n-2}+q^{n-1}\right)\\&=aq\;{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=a\;{\frac {1-q^{n}}{q^{-1}-1}}\\&=a\;{\frac {1-\left(1+i\right)^{-n}}{1+i-1}}\\&=a\;{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}.\end{aligned}}$

 

La formule précédente permet de calculer les versements correspondant au remboursement d'un prêt. En effet, la banque prêtant un capital C aujourd'hui, il faut que la valeur actuelle de la suite des versements soit égale à C. On a donc, en inversant la formule précédente :

Corollaire

Pour le remboursement, par $n$ versements fixes, d'un prêt d'une somme $C$ au taux $i$, chaque versement se monte à :

$a=C\,{\frac {i}{1-\left(1+i\right)^{-n}}}$.