Discussion:Mathématiques financières/Somme d'une suite géométrique

bonjour,

j’ai bien compris la démonstration pour la valeur actuelle d'une suite de versements mais je ne comprends pas pourquoi le résultat ne correspond pas à la somme d'une suite géométrique de raison $q=1/(1+i)$ c'est-à-dire $S=(1-q^{n})/(1-q)$. Le numérateur correspond bien à cette somme mais pas le dénominateur

si quelqu’un peut m'aider

merci — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 86.201.99.45 (d · c · b · s).

La somme ressemble mais ne correspond pas pour la raison suivante :

L'expression $S=(1-q^{n})/(1-q)$ est valable lorsqu'on fait la somme des n premiers termes d'une suite géométrique en partant de 0 jusque n-1

Pour simplifier l'explication, je ne mettrai pas le a en facteur qui traîne en facteur de toutes les expressions pour mieux se concentrer sur la somme.

Le calcul de la valeur actuelle fait ici, si l’on regarde de plus près l’expression $V=(1+i)^{-1}+(1+i)^{-2}+(1+i)^{-3}+...+(1+i)^{2-n}+(1+i)^{1-n}+(1+i)^{-n}$, fait bien la somme de termes d'une suite géométrique, mais entre 1 et n

C'est ce décalage qui explique l’expression différente. Pour retrouver le résultat attendu $V=\left({\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right)$ en partant d'une expression du type $S=(1-q^{n})/(1-q)$, il faut écrire la somme des n+1 premiers termes (de 0 jusque n), ce qui donne

$S_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n+1}}{1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)}}$

à comparer avec $V=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}=S_{n+1}-1$

Si vous développez le calcul de $S_{n+1}-1$, vous retomberez sur l’expression encadrée.

Tout ça pour dire que l’expression ne correspond pas parce qu’il manque le terme d'indice 0 dans la somme $S_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{k}={\frac {1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)^{n+1}}{1-\left({\frac {1}{1+i}}\right)}}$

Voilà Xzapro4 _discuter 2 mars 2009 à 18:05 (UTC)

merci,

c'est très clair (et réponse très rapide !)

je vais pouvoir apprendre la formule mais j'aime bien comprendre avant d'apprendre