exemple de texte

Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Image logo
Le programme français relatif à cette page a fait l'objet d'une réforme importante en 2019. Sa structure ne répond plus aux attendus de l'Éducation nationale française (source).
Vous êtes invité(e) à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.
Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances
Image logo représentative de la faculté
Devoir no9
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Logarithmes, suites et intégrales
Dev suiv. :Logarithmes, exponentielles et suites définies par récurrence
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Devoir : Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances
Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, exponentielles et fonctions puissances
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




 On note et les fonctions définies sur par :

a)  Démontrez que est paire, que est impaire, puis que :
.
b)  Étudiez chacune de ce fonctions et tracez leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal.
De cette étude, déduisez que :
- pour tout , et  ;
- pour tout , et  ;
- pour tout réel , et .
Précisez les tangentes aux points d'abscisse zéro.
c)  On note la fonction définie par :
.
Étudiez cette fonction et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
Déduisez de cette étude que :
- pour tout réel ,  ;
- pour tout réel , et .

 On note la fonction définie par :

a)  Quel est l'ensemble de définition de  ? Démontrer que est impaire.
b)  Démontrer que pour tout ,  ; déduisez-en que pour tout , .
c)  On étudie la limite en zéro de la fonction  ; observez que pour tout non nul, on peut écrire , étant une fonction à préciser.
Expliquez alors pourquoi a une limite en zéro. Quelle est-elle ?

On pose alors . Dans toute la suite, désignera la fonction ainsi prolongée sur tout .

d)   est un réel strictement positif.
Appliquez l'inégalité des accroissements finis à la fonction entre les réels et (la fonction a été définie en c)).
Démontrez que pour tout réel , .
Déduisez-en que pour tout réel , .

 On considère la fonction définie sur par :

a)  Vérifier que pour tout réel
Démontrez que :
- pour tout réel , et  ;
- pour tout réel , .
Calculez et , et démontrez que la fonction n'est ni paire, ni impaire.
b)  Démontrez que :
- pour tout réel ,  ;
- pour tout réel , .
c)  Déduisez de ces inégalités que :

et .

 En utilisant la définition d'un nombre dérivé, montrez que est dérivable en zéro et que .

Montrez que pour non nul, .