Mathématiques en terminale générale/Devoir/Logarithmes, suites et intégrales

Le programme français relatif à cette page a fait l'objet d'une réforme importante en 2019. Sa structure ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

Vous êtes invité à créer un nouveau cours (aide) et de nouvelles leçons (aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute, discutez-en (février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

— Ⅰ —

La suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier $n\geqslant 1$, par :

$u_{n}=\sum _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}=1-{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}$.

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=\sum _{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}x^{k}=1-x+\cdots +x^{2n-2}-x^{2n-1}$.

1°  Montrez que $\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x=u_{n}$.

2°  Vérifiez que lorsque $x\neq -1,\,f(x)+{\frac {x^{2n}}{1+x}}={\frac {1}{1+x}}$.

3°  Déduisez-en que $u_{n}+\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x=\ln 2$.

4°  Montrez que $0\leqslant \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{2n+1}}$.

et déduisez-en $\lim _{n\to +\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{1+x}}\,\mathrm {d} x$.

5°  Calculez la limite de $(u_{n})$.

— Ⅱ —

$F,\,G,\,H,$ sont les fonctions définies sur $[0;\,1]$ par :

$F(x)=\ln(1+x),\qquad G(x)=x-F(x),\qquad H(x)=F(x)-x+x^{2}$.

1°  Montrez que pour tout $x$ de $[0;\,1],\,x-x^{2}\leqslant F(x)\leqslant x$.

2°  Montrez que pour tout $k\geqslant 0$, tout entier $n\geqslant 1$,

${\frac {1}{n+k}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\leqslant F\left({\frac {1}{n+k}}\right)\leqslant {\frac {1}{n+k}}$

3°  $(v_{n})$ et $(a_{n})$ sont les suites définies par :

$v_{n}=F\left({\frac {1}{n}}\right)+F\left({\frac {1}{n+1}}\right)+\cdots +F\left({\frac {1}{2n}}\right)$ pour tout entier.

$n\geqslant 1$ et $a_{n}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}$ pour tout entier $n\geqslant 1$.

Montrez que pour tout entier $n\geqslant 1,\,\left(1-{\frac {1}{n}}\right)a_{n}\leqslant v_{n}\leqslant a_{n}$.

4°  $(b_{n})$ est la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par :

$b_{n}=a_{n}-{\frac {1}{n}}$.

Calculer $b_{n}-b_{n-1}$ lorsque $n\geqslant 2$, puis comparez $b_{n}$ et $u_{n}$ lorsque $n\geqslant 1$.

5°  Calculez la limite de la suite $(v_{n})$

— Ⅲ —

Dans cette partie, on admettra que pour tout $x\geqslant 0$, on a :

$x-{\frac {x^{3}}{6}}\leqslant \sin x\leqslant x$.

$(w_{n})$ est la suite définie pour tout entier $n\geqslant 1$ par :

$w_{n}=\sin {\frac {1}{n}}+\sin {\frac {1}{1+n}}+\cdots +\sin {\frac {1}{2n}}$.

En utilisant un encadrement de la fonction sinus par des fonctions polynômes, calculez la limite de la suite $(w_{n})$.

Corrigé

Le corrigé de ce devoir n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}