Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales, exponentielles et produit scalaire

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.

1°  $g$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $g(x)=x(x+2-e)e^x$.

Montrez que ${\int }_0^{1}g(x)\mathrm{d}x=0$

2°  Pour tout réel $t$, on considère la fonction $f_t$, définie sur $ℝ$ par :

$f_t(x)=(x-t)e^{\frac{x}{2}}$.

E est l'ensemble des couples $(t_1;t_2)$ de réels tels que :

${\int }_0^1{f}_{t_1}(x)f_{t_2}(x)\mathrm{d}x=0$.

a)  Prouvez que E n'est pas vide.

b)  Démontrez qu'un couple $(t_1;t_2)$ appartient à E si et seulement si $(e-1)t_1{t}_2-(t_1+t_2)+e-2=0$

Écrivez cette condition sous la forme :

$(t_1-\alpha )(t_2-\alpha )=-k^2$[1]

$\alpha$ et $k$ étant des réels que vous calculerez. (On rappelle que $2,7<e<2,8$.)

c)  Par des considérations sur les aires, montrez que lorsque $(t_1;t_2)$ appartient à E, la fonction $x\mapsto f_{t_1}(x)f_{t_2}(x)$ ne garde pas un signe constant;

déduisez-en que l’un au moins des deux réels $t_1$ ou $t_2$ appartient à $[0;1]$.

3°  On considère un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ et on désigne par $A_t$ le point de coordonnées $(t;0)$. Il est conseillé de faire des figures pour traiter cette question.

a)  Démontrez, en utilisant l'égalité [1], qu'il existe deux points du plan, $I$ et $J$, tels que : $(t_1;t_2)$ appartient à E si et seulement si $\overrightarrow{I{A}_{t_1}}.\overrightarrow{I{A}_{t_2}}=\overrightarrow{J{A}_{t_1}}.\overrightarrow{J{A}_{t_2}}=0$.

b)  Vérifier que $(t_1;t_2)$ appartient à E si et seulement si le cercle de diamètre $[A_{t_1}{A}_{t_2}]$ passe par $I$ et $J$.

c)  Calculez, à l'aide d'une remarque géométrique simple, le minimum de $|t_2-t_1|$ quand $(t_1;t_2)$ décrit E.

d)  Déduisez du 3°b), par une interprétation géométrique de 2°c), que $I$ et $J$ appartiennent au disque de diamètre $[A_0{A}_1]$.

'Corrigé'

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