Mathématiques en terminale générale/Devoir/Intégrales, exponentielles et produit scalaire

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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1°  $g$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par $g(x)=x(x+2-e)e^{x}$.

Montrez que $\int _{0}^{1}g(x)\,\mathrm {d} x=0$

2°  Pour tout réel $t$, on considère la fonction $f_{t}$, définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{t}(x)=(x-t)e^{\frac {x}{2}}$.

E est l'ensemble des couples $(t_{1};\,t_{2})$ de réels tels que :

$\int _{0}^{1}f_{t_{1}}(x)f_{t_{2}}(x)\,\mathrm {d} x=0$.

a)  Prouvez que E n'est pas vide.

b)  Démontrez qu'un couple $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E si et seulement si $(e-1)t_{1}t_{2}-(t_{1}+t_{2})+e-2=0$

Écrivez cette condition sous la forme :

$(t_{1}-\alpha )(t_{2}-\alpha )=-k^{2}\qquad$[1]

$\alpha$ et $k$ étant des réels que vous calculerez. (On rappelle que $2,7<e<2,8$.)

c)  Par des considérations sur les aires, montrez que lorsque $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E, la fonction $x\mapsto f_{t_{1}}(x)f_{t_{2}}(x)$ ne garde pas un signe constant;

déduisez-en que l’un au moins des deux réels $t_{1}$ ou $t_{2}$ appartient à $[0;\,1]$.

3°  On considère un repère orthonormal $(O;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$ et on désigne par $A_{t}$ le point de coordonnées $(t;\,0)$. Il est conseillé de faire des figures pour traiter cette question.

a)  Démontrez, en utilisant l'égalité [1], qu'il existe deux points du plan, $I$ et $J$, tels que : $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E si et seulement si ${\vec {IA_{t_{1}}}}.{\vec {IA_{t_{2}}}}={\vec {JA_{t_{1}}}}.{\vec {JA_{t_{2}}}}=0$.

b)  Vérifier que $(t_{1};\,t_{2})$ appartient à E si et seulement si le cercle de diamètre $[A_{t_{1}}A_{t_{2}}]$ passe par $I$ et $J$.

c)  Calculez, à l'aide d'une remarque géométrique simple, le minimum de $|t_{2}-t_{1}|$ quand $(t_{1};\,t_{2})$ décrit E.

d)  Déduisez du 3°b), par une interprétation géométrique de 2°c), que $I$ et $J$ appartiennent au disque de diamètre $[A_{0}A_{1}]$.

Corrigé

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