Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, approximations et intégrales

Le programme français qui a guidé l'écriture de cette page a fait l'objet d'une réforme en 2019. Ce cours ne répond plus aux attendus du Ministère de l'Éducation nationale (source).

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— Ⅰ —

$h$ est une fonction dérivable sur $I=[0;\,+\infty [$ et positive.

$H$ est la primitive de $h$ sur $I$ telle que $H(0)=0$.

1°  Montrez que $H$ est positive sur $I$.

2°  En utilisant plusieurs fois la question précédente, et sachant que pour tout réel $x\geqslant 0,\,e^{x}-1\geqslant 0$, montrez -que :

pour tout réel $x\geqslant 0,\,e^{x}\geqslant {\frac {x^{4}}{24}}$

— Ⅱ —

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)=1-x^{2}e^{-x}$.

1°  Étudiez la fonction $f$.

2°  Déduisez de cette étude que l'équation $f(x)=0$ a une solution et une seule, noté $\alpha$. Donnez une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-2 près.

3°  L'unité de longueur choisie est 2 cm; tracez la courbe ${\mathcal {C}}$ représentative de $f$ dans un repère orthonormal.

Précisez, s'il y a lieu, les tangentes horizontales.

4°  $\lambda$ est un réel strictement positif.

On note D le domaine limité par la droite d'équation $y=1$, la courbe ${\mathcal {C}}$, les droites d'équations $x=\lambda$, et $x=0$.

On note $A(\lambda )$ l'aire, en cm², du domaine D.

a)  Montrez que :

${\frac {A(\lambda )}{4}}=\int _{0}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x$.

b)  On veut savoir s'il est possible de choisir $\lambda$ de façon à obtenir $A(\lambda )=125$.

• Sans calculer l'intégrale, montrez que :

$\int _{0}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x\leqslant 1,\qquad \qquad \qquad \quad \,$ lorsque $\lambda \leqslant 1$

$\int _{1}^{\lambda }x^{2}e^{-x}\,\mathrm {d} x\leqslant 24\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right)\leqslant 24,$ lorsque $\lambda \geqslant 1$.

• De ces inégalités, déduisez que $A(\lambda )=125$ cm² est impossible.

— Ⅲ —

1°  $f'$ et $f''$ désignent respectivement les dérivées première et seconde de $f$.

Vérifiez que pour tout réel $x$ :

$f''(x)+2f'(x)+f(x)=-2e^{-x}+1$.

2°  On note $F$ la primitive sur $\mathbb {R}$ de $f$ qui s'annule pour $x=0$.

Donnez la valeur explicite de $F(x)$ pour tout réel $x$.

3°  Écrivez $F(x)$ sous forme d'intégrale.

Retrouvez le résultat de la question précédente en calculant cette intégrale.

Corrigé

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