Vous êtes invité à créer un nouveau cours (
aide) et de nouvelles leçons (
aide) conformes au nouveau programme. En cas de doute,
discutez-en (
février 2021).
Une liste de cours conformes à d'anciens programmes français est disponible ici : Catégorie:Anciens programmes.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Devoir : Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales
Mathématiques en terminale générale/Devoir/Complexes, fonctions racines, bijections et intégrales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On choisit pour unité de longueur 4 cm, et on munit le plan d'un repère orthonormal direct
. Vous représenterez dans ce repère les courbes demandées.
— Ⅰ —
1° On note E l'ensemble des complexes
tels que
et on considère la fonction
qui, à chaque élément de E, associe le complexe :

- Déterminez l'ensemble E et représentez-le graphiquement.
- Par la suite, si un complexe
de E est représenté par un point M, on notera M' le point représentant
.
2° Résolvez dans
l'équation
.
3°
est un complexe appartenant à E; Le point M qui le représente a pour coordonnées
. Exprimez en fonction de
et
les coordonnées du point M'.
4° Déterminez et représentez graphiquement l'ensemble des complexes
tels que
soit un imaginaire pur.
5°
est un complexe de E.
- Montrez que le module de
est égal à
si et seulement si
et
sont liés par la relation
.
— Ⅱ —
Le but de cette partie est de représenter l'ensemble E' des complexes
tels que
ait pour module
. C'est-à-dire aussi, d'après la fin de la première partie, l'ensemble des couples
tels que
[1].
1° Montrez que pour tout réel
, il existe deux réels
et
à déterminer tels que
et
vérifie la relation [1].
2°
et
sont les fonctions définies sur
par :

- On notera
la courbe représentative de
et
la courbe représentative de
.
- a) Montrez que l'ensemble E' cherché est représenté par la réunion de
et
.
- b) Montrez que l'origine O est centre de symétrie de E'.
3° Étudiez la fonction
et tracez sa courbe représentative.
- Montrez que la droite d d'équation
est asymptote à
au voisinage de
et précisez la position de
par rapport à cette asymptote.
4° Tracez la tangente à
au point d'interception de
avec l'axe des ordonnées.
5° Représentez l'ensemble E'.
— Ⅲ —
On se propose de calculer en cm2, l'aire
du domaine compris entre la courbe
, les droites d'équation
,
, et l'axe des abscisses.
1° Exprimez cette aire sous forme d'une intégrale.
2° On note
la restriction de
à l'intervalle
.
- a) Pourquoi
est-elle une bijection de
sur l'intervalle
?
- b) Soit
la fonction définie sur
par
- Vérifiez que pour tout
de
, et que pour tout
de
.
- Comment qualifie-t-on
par rapport à
, et
par rapport à
?
- Qu'en résulte-t-il pour les courbes
et
?
3° Tracez la courbe représentative de
.
4° Calculez l'intégrale
et interprétez-la graphiquement.
5° Déduisez alors de ce qui précède l'aire
cherchée.
'Corrigé'
Le corrigé de
ce devoir
n'a pas été rédigé. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?