Leçons de niveau 12

Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Éléments de géométrie

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Éléments de géométrie
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Chapitre no 2
Leçon : Mécanique pour l'enseignement technique industriel
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Notions de mécanisme et de structure

Exercices :

Géométrie
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Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Éléments de géométrie
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Présentation[modifier | modifier le wikicode]

Ce chapitre présente des éléments de géométrie nécessaires pour le cours. Ce chapitre peut être traité intégralement en début de formation, ou bien les éléments peuvent être introduits au fur et à mesure des besoins du cours.

La deuxième solution est à préférer : cela permet de rapprocher l'outil de son utilisation (on voit tout de suite à quoi sert ce que l’on étudie). Par ailleurs, traiter ce chapitre en intégralité donne l'impression que le cour sera un cours de mathématiques, ce qui peut en rebuter certains.

Objectif[modifier | modifier le wikicode]

À l'issue de ce chapitre, vous devez être capable :

  • sur un arc de cercle
    • connaissant le rayon et l'angle, de calculer sa longueur,
    • connaissant le rayon et sa longueur, de déterminer l'angle,
    • de savoir convertir les degrés en radians et vice versa ;
  • sur un triangle rectangle
    • connaissant la longueur de deux côté, de déterminer la longueur du troisième côté,
    • connaissant la longueur d'un côté et un angle, de déterminer la longueur des deux autres côtés ;
  • avec les vecteurs
    • de savoir déterminer les composantes d'un vecteur tracé sur le papier,
    • de savoir tracer un vecteur connaissant ses caractéristiques (direction, sens et longueur, ou bien composantes),
    • de savoir faire la somme graphique de deux vecteurs,
    • de savoir faire la somme analytique de deux vecteurs,
    • de savoir déterminer la longueur d'un vecteur à partir de ses composantes ;
  • de calculer les aires de figures élémentaires (disque, rectangle) et le volume de solides élémentaires (cylindre, parallélépipèdes rectangles) ;
  • de réaliser des tracés géométriques élémentaires : tracer des perpendiculaires, des parallèles, diviser un cercle en parties égales.

Note préliminaire[modifier | modifier le wikicode]

Dans le domaine de la construction mécanique et de la chaudronnerie, lorsque l’on n'indique pas d'unité de longueur, il s'agit toujours de millimètres (mm). C'est en particulier le cas des cotes sur les plan. C'est la convention que nous adopterons dans tout le cours.

Constructions graphiques[modifier | modifier le wikicode]

Cette section est un prérequis pour
les méthodes de résolution graphiques :
  • statique graphique : méthode des forces concourantes, méthode du funiculaire ;
  • cinématique graphique : tracé de trajectoires, centre instantané de rotation, équiprojectivité.
Tracer à l'encre sans laisser de trace (figure du bas)

Notons trois choses :

  • pour un tracé précis, il faut prendre en compte l'épaisseur de la mine de crayon ;
  • on fait d’abord un tracé avec un crayon bien taillé, ou un critérium à mine fine, et à mine dure (qualité H, 2H, 3H, 4H) en appuyant légèrement ; puis, on repasse le résultat final à l'encre (stylo à bille ou à encre liquide) en laissant les traits de construction (on ne gomme pas) ;
  • les outils de traçage — règles et équerres — présentent une « marche » sur certains côtés :
    • si l’on fait un tracé au crayon ou au stylo bille, on utilise l'outil « à l'endroit », les graduations sont lisibles, le crayon ou le stylo est en contact avec le papier et avec l'outil,
    • si l’on fait un tracé à l'encre, par exemple avec un stylo à plume ou à mine tubulaire, on retourne l'outil, ainsi la pointe n’est pas en contact avec l'outil et l'encre ne risque pas de baver lorsque l’on enlève l'outil.

Point[modifier | modifier le wikicode]

Un point isolé se représente par un croix droite, un « + », parallèle aux axes. Un point sur une droite se représente par un petit trait perpendiculaire à la droite.

Tracer une droite en prenant en compte l'épaisseur du trait

Tracer une droite entre deux points[modifier | modifier le wikicode]

Pour tracer une droite (AB) en prenant en compte l'épaisseur du trait, il faut :

  1. Placer le crayon sur un des points (par exemple A).
  2. Appuyer la règle contre le crayon.
  3. Faire pivoter la règle pour qu'elle touche presque l'autre point, en maintenant fermement le crayon — c’est le guide — et en étant léger sur la règle ; on garde le même écartement que pour le point de pivot.
  4. Appuyer fermement sur la règle — c’est maintenant elle le guide — et tracer le trait en étant léger sur le crayon.

Cette méthode rend en outre la tracé plus facile : un des points étant fixé, on n'a à se concentrer que sur la position de la règle par rapport à l'autre point.

Tracer une perpendiculaire à l'équerre

Tracer une perpendiculaire à une droite en un point[modifier | modifier le wikicode]

Première méthode : on place un côté de l'angle droit de l'équerre contre la droite, l'angle droit étant contre le point considéré. Puis, on trace la ligne contre l'autre côté de l'angle droit.

Cette méthode est simple, mais l'angle droit de l'équerre est en général émoussé, il est donc difficile d’être précisément sur le point.

Équerre et règle pour tracer une perpendiculaire.

Une méthode plus précise consiste à

  1. Placer un côté de l'angle droit de l'équerre contre la droite, un peu à côté du point.
  2. Placer une règle contre l’hypoténuse de l'équerre.
  3. Faire glisser l'équerre contre la règle jusqu'à ce que le point soit sur l'autre côté de l'angle droit, à l'épaisseur du crayon près. Pour cela, on appuie fermement sur la règle — elle est le guide et doit donc rester en place —, mais on reste très léger sur l'équerre.
  4. Une fois l'équerre en place, on appuie fermement dessus — elle devient le guide —, on lâche la règle, et on trace la ligne en étant léger sur le crayon.
Équerre et règle pour tracer une parallèle

Tracer une parallèle à une droite[modifier | modifier le wikicode]

  1. On prend une équerre et l’on place un de ses côtés sur la droite de référence.
  2. On place une règle contre un autre côté de l'équerre.
  3. Puis, on appuie fermement sur la règle, et l’on fait glisser l'équerre contre la règle sans appuyer sur l'équerre (ceci afin d’éviter de faire bouger la règle).
  4. Une fois l'équerre en place, on appuie fermement sur elle, on lâche la règle, et on trace le trait en étant léger sur le crayon.
Couper un cercle en 12 parties égales

Découper un cercle en 4 à 24 parts égales[modifier | modifier le wikicode]

Avant de tracer le cercle, on trace les diamètres horizontal et vertical (droites horizontale et verticale passant par le centre) ; ce sont les « traits d'axe du cercle ». Ainsi, lorsque l’on trace le cercle, celui-ci est séparé en 4 quartiers.

Pour le séparer en 12 parts égales, on place la pointe du compas sur l'intersection d'un axe et du cercle, tout en gardant un écartement égal au rayon. Puis, on trace les arcs de cercle coupant le cercle. On procède ainsi pour chaque intersection axe-cercle, on obtient au total 12 parts égales.

Le tracé des bissectrices permet de doubler le nombre de parts

On peut encore placer un point entre chaque point déjà placé : on place la pointe du compas sur un des points et l’on trace un arc de cercle à l'extérieur du cercle de base, et l’on fait de même sur le point voisin ; l'intersection des deux arcs définit un point. Puis, on trace à la règle le diamètre passant par ce point-là ; elle coupe l'arc de cercle en deux parts égales (bissectrice de l'angle). Ainsi, si le cercle est déjà coupé en 4 parts, on en obtient 8 ; si le cercle est déjà coupé en 12 parts, on en obtient 24.

On peut recouper les arcs en 2 par la même méthode, et multiplier ainsi le nombre d'arcs par 2, pour obtenir encore plus d'arcs.

Arc de cercle[modifier | modifier le wikicode]

Cette section est un prérequis pour
l'étude des mouvements de rotation.

Le périmètre d'un cercle de rayon r est

p = 2πr.

Dans l'enseignement technique, on fait en général référence au diamètre d : c’est ce que l’on mesure avec un pied à coulisse. On a alors

d = 2r

et donc

p = πd.
Arc de cercle

Un arc de cercle d'angle θ[1] est une portion de cercle. La longueur de l'arc L est donc la portion du périmètre

.

Si l’on travaille en degrés, alors un tour complet fait 360° et l’on a :

.

C'est en général cette formule qui est utilisée en atelier.

L'unité internationale d'angle est le radian, abréviation rad, défini par :

un tour représente 2π rad.

Le passage degré ↔ radian est une simple loi de proportionnalité (produit en croix). L'utilisation des radians permet de simplifier les formules :

soit

L = θ (rad) r,

en général écrit

L = r θ (rad).

Le radian est donc une unité simplifiant les calculs, mais on a du mal à se représenter les angles en radians : on voit bien ce qu'est un angle de 30°, mais on ne voit pas ce que représente un angle de 0,6 rad. Par ailleurs, les rapporteurs, les machines, tout est gradué en degrés. Les degrés sont une unité conventionnelle qui se représente plus facilement. Il faut donc savoir passer de l'un à l'autre.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Arc de cercle.



Note
Les calculs ci-dessus ne font pas intervenir les fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) mais uniquement la multiplication. La manière dont est configurée la calculatrice — calculs en degrés ou en radians — n'a donc aucune importance.

Relations dans le triangle rectangle[modifier | modifier le wikicode]

Cette section est un prérequis pour
la statique analytique.
Un polygone peut être maillé par des triangles ; un triangle peut se découper en deux triangles rectangles

Les triangles ont une importance capitale : en effet, tout polygone — surface délimitée par une ligne brisée fermée — peut se découper en triangles (maillage). Par ailleurs, tout triangle peut se découper en deux triangles rectangles. Ainsi, si l’on sait travailler sur un triangle rectangle, on sait travailler sur tout polygone.

Par ailleurs, les triangles rectangles ont des propriétés particulières qui permettent des calculs faciles.

Théorème de Pythagore[modifier | modifier le wikicode]

Triangle ABC rectangle en C

Le côté le plus long d'un triangle rectangle est appelé « hypoténuse » (côté AB dans l'image ci-contre), les deux autres sont les « côtés de l'angle droit ». Le théorème de Pythagore énonce, avec les notation du dessin ci-contre, que

AB2 = AC2 + BC2

ou encore que

.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Si vous présentez des lacunes sur ce sujet
Revoir le cours Triangle rectangle/Théorèmes de Pythagore.

Fonctions trigonométriques[modifier | modifier le wikicode]

Les calculatrices permettent de calculer le cosinus (cos), le sinus (sin) et la tangente (tan) d'un angle. Il faut bien configurer la calculatrice pour être sûr de l'unité utilisée pour les angles — nous utiliserons toujours les degrés.

Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Ces angles correspondent aux proportions entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Cela est donné par la formule mnémotechnique SOHCAHTOA

  • SOH (sinus-opposé-hypoténuse) :  ;
  • CAH (cosinus-adjacent-hypoténuse) :  ;
  • TOA (tangente-opposé-adjacent) : .

Par côtés opposé et adjacent, il faut comprendre « opposé à l'angle θ » et « adjacent à l'angle θ ». Par rapport au dessin ci-contre, on a donc

  •  ;
  •  ;
  • .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Relations dans le triangle rectangle.



Si vous présentez des lacunes sur ce sujet
Revoir le cours Trigonométrie/Triangle rectangle

Vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Cette section est un prérequis pour
l'étude de la représentation vectorielle
  • de la vitesse,
  • de l'accélération,
  • des forces, la méthode des forces concourantes, la méthode du funiculaire.

Pour exprimer l'intensité d'un phénomène, on a en général recours à un nombre avec une unité, par exemple :

  • température en degrés celsius (°C) ;
  • masse en kilogrammes (kg ;
  • longueur en mètres (m) ;
  • pression en pascals (Pa) ;

Pour certains phénomènes, cela ne suffit pas : il faut aussi indiquer la direction et le sens du phénomène. Par exemple, vous partez d'un carrefour en marchant 200 m ; où vous trouvez-vous ? Pour le savoir, il faut aussi indiquer le nom de la rue que vous empruntez, et le sens dans lequel vous prenez la rue. Donc, pour représenter le déplacement, il faut un objet mathématique ayant une direction, un sens et une grandeur, c’est un vecteur.

De même, si vous poussez un chariot sur roulettes, pour connaître l'effet de votre effort, il vous faut la direction, le sens et l'intensité de l'effort.

Le vecteur est représenté graphiquement par une flèche, c'est-à-dire un segment muni d'une pointe. La direction est la droite portant le segment, l'intensité est la longueur du segment et le sens est l'extrémité à laquelle se trouve la pointe.

Composition de deux phénomènes : somme vectorielle[modifier | modifier le wikicode]

Si le vecteur nous sert à représenter un phénomène, l'opération mathématique « somme de vecteurs » représente l'action combinée de deux phénomènes, la composition de deux phénomènes.

Personne marchant dans un train : déplacements « élémentaires » (haut) et déplacement composé (bas)

Considérons une personne (2) qui marche dans un train (1), perpendiculairement à l'axe du train. Pour un observateur assis dans le train, il se déplace selon vecteur (déplacement de 2 par rapport à 1). Le train, lui, roule sur ses rails (0) ; pour un observateur debout sur le quai de gare, le train effectue un déplacement selon le vecteur . Pour ce même observateur, la personne marchant se dirige en diagonale par rapport à l'axe des rails.

Le déplacement de la personne (2) par rapport au sol (0) est l'action combinée de son déplacement par rapport au train (1) et du déplacement du train par rapport au sol. Le vecteur déplacement de la personne par rapport au sol, , est la composition des déplacements et . Cela se traduit par l'opération mathématique appelée « somme de vecteurs » :

.


Décomposition d'un phénomène : projection[modifier | modifier le wikicode]

Pont roulant

Un pont roulant sert à transporter des charges. Pour amener une charge d'un point A à un point B, il faut effectuer deux déplacements : un déplacement du pont (traverse), et un déplacement du palan (chariot). Ces deux déplacement peuvent être simultanés.

Décomposition du déplacement du pont roulant.

On veut donc décomposer le déplacement en un déplacement selon l'axe (déplacement du palan) et selon l'axe (déplacement du pont). Pour ce faire :

  • on trace la parallèle à l'axe à un bout du vecteur ;
  • on trace la parallèle à l'axe à un bout du vecteur ;

l'intersection des droites donne la décomposition .

Cette décomposition d'un mouvement selon deux axes motorisés est utilisé dans de nombreux domaines : table traçante, machine-outil, …

Décomposition du vecteur selon deux directions (Δ1) et (Δ2) quelconques.

Dans le cas général d'une décomposition, les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires. En mathématiques, la décomposition d'un vecteur selon deux direction est appelée « projection d'un vecteur sur deux axes ». Ci-contre, le vecteur est décomposé selon les directions (Δ1) et (Δ2). Il y a deux manières de faire, qui donnent le même résultat :

  •  ;
  • est la projection de sur (Δ1) ;
  • est la projection de sur (Δ2).
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Composantes analytiques d'un vecteur[modifier | modifier le wikicode]

Composantes d'un vecteur : progression sur une grille (gauche) et projection sur les axes (droite) ; ici

Traçons un vecteur sur un quadrillage. La direction horizontale est appelée x et la verticale y. Pour aller du pied à la pointe du vecteur, on parcourt ux carreaux horizontalement et uy carreaux verticalement. On dit que ux et uy sont les composantes de , ce que l’on écrit

.

Les valeurs ux et uy sont algébriques, c'est-à-dire qu'elle peuvent être positives ou négatives. On oriente en effet les axes :

  • axes x : orienté vers la droite ; ux est positif si l’on va vers la droite, négatif si l’on va vers la gauche ;
  • axes y : orienté vers le haut ; uy est positif si l’on va vers le haut, négatif si l’on va vers le bas.

Sur la figure ci-contre, il faut progresser de 4 carreaux vers la droite et de deux carreaux vers le haut, les composantes sont donc

Si l’on appelle le vecteur unitaire de l'axe des x et le vecteur unitaire de l'axe des y (vecteurs de longueur 1)[2], alors on a

soit dans notre exemple

.

On a bien décomposé notre vecteur en deux vecteurs, un horizontal, l'autre vertical.

Si la composante x est nulle, alors on ne se déplace pas horizontalement, le vecteur est vertical ; de même, si la composante en y est nulle, le vecteur est horizontal. Les signes des composantes indiquent la direction globale du vecteur.

Signes des composantes et orientation
x y Orientation
+ 0
+ +
0 +
- +
- 0
- -
0 -
+ -

On remarque que , ux et uy forment un triangle rectangle. On peut donc en particulier appliquer le théorème de Pythagore :

soit pour notre exemple

.

On peut aussi voir cela comme la projection du vecteur sur les axes :

  • si l’on éclaire le vecteur par le dessus, alors ux est l'ombre portée sur l'axe x ;
  • si l’on éclaire le vecteur par la droite, alors uy est l'ombre portée sur l'axe y.

On parle de projection orthogonale puisque la lampe éclaire perpendiculairement à l'axe où l’on projette[3].

Somme analytique de deux vecteurs[modifier | modifier le wikicode]

Si l’on connaît les composantes selon x et y de deux vecteurs

et

alors les composantes du vecteur somme sont simplement le somme des composantes :

.

Par rapport aux nombres, travailler avec un vecteur, c’est comme travailler indépendamment sur x et sur y. Au lieu de faire une somme, on fait deux sommes.


Image logo représentative de la faculté Voir les exercices sur : Vecteurs — Approche analytique.



Si vous présentez des lacunes sur ce sujet
Revoir le cours Vecteur.

Aires et volumes[modifier | modifier le wikicode]

Cette section est un prérequis pour
  • la modélisation des efforts : calcul du poids d'une pièce, relation entre force et pression ;
  • la résistance des matériaux : calcul de l'aire de la section droite pour déterminer la contrainte.
Aire d'un disque
S = π × r 2 = π × d 2/4
  • r : rayon ;
  • d : diamètre.
Si r ou d sont en m, S est en m2 ; si r ou d sont en mm, S est en mm2.
Aire d'un rectangle
S = a × b
a et b étant les longueurs des côtés
Volume d'un cylindre ou d'un parallélépipède rectangle
V = S × h
  • S : aire de la base ;
  • h : hauteur.
Si S est en m2 et h est en m, alors V est en m3 ; si S est en dm2 et h est en dm, alors V est en dm3 (rappelons que 1 dm3 = 1 L) ; si S est en mm2 et h est en mm, alors V est en mm3.
Si vous présentez des lacunes sur ce sujet
Revoir le cours Mesure en géométrie/Aire


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Notes pour les enseignants[modifier | modifier le wikicode]

Mon premier cours est en général le cours sur les vecteurs. Outre la notion de modélisation, je me limite aux compétences :

  • déterminer les caractéristiques d'un vecteur tracé, tracer un vecteur dont on connaît les caractéristiques ;
  • construction graphique d'une somme vectorielle ;
  • construction graphique d'une projection.

À partir de là, j'aborde soit la cinématique, soit la statique.

Notes[modifier | modifier le wikicode]

  1. la lettre grecque θ se lit « thêta »
  2. en mathématiques, on note ces vecteurs et
  3. en grec, ortho signifie « droit » (orthographe = écriture « droite », correcte) et gone signifie « angle », orthogonal = à angle droit