Leçons de niveau 15

Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson

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Soit X une loi de Poisson de paramètre λ.

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).


Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.


Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.


Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.

(X = k) k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

Nous voyons alors que Z est une loi de Poisson de paramètre αλ.


Nous retiendrons :


Début d’un théorème
Fin du théorème