En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Loi binomiale conditionnée : Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit X une loi de Poisson de paramètre λ.
Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).
Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.
Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.
Étudions la loi de probabilité de Z.
X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.
(X = k) k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :
Nous voyons alors que Z est une loi de Poisson de paramètre αλ.
Nous retiendrons :
Début d’un théorème
Théorème
Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi de Poisson de paramètre λ est assimilable à une loi de Poisson de paramètre αλ.