Leçons de niveau 15

Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative

Une page de Wikiversité.
Aller à la navigation Aller à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Loi binomiale conditionnée : Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative
Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soit X une loi binomiale négative de paramètre (r,p).

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).


Une loi binomiale négative de paramètre (r,p) est une variable aléatoire qui à toute suite d’événements indépendants à deux alternatives (symboliquement dénommées succès de probabilité p ou échec de probabilité 1-p) associe le nombre d’échec avant le rème succès.

La loi de probabilité de la loi binomiale négative est :

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.


Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.


Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.

(X = k), k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

Compte tenu de la formule:

Nous obtenons:

Nous voyons alors que Z est une loi binomiale négative de paramètres :


Nous retiendrons :


Début d’un théorème
Fin du théorème