Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative

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Soit X une loi binomiale négative de paramètre (r,p).

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).

Une loi binomiale négative de paramètre (r,p) est une variable aléatoire qui, à toute suite d’événements indépendants à deux alternatives (symboliquement dénommées succès de probabilité p ou échec de probabilité 1-p), associe le nombre d’échecs avant le r^ème succès.

La loi de probabilité de la loi binomiale négative est :

$p(X=k)={k+r-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k}$

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚0;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚.

(X = k), k ∈〚0;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

${\begin{aligned}p(Z=k)&=p(Y=k)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }p\left[(Y=k)/(X=i)\right]\times p(X=i)\\&=\sum _{i=k}^{\infty }{i \choose k}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i-k}\times {i+r-1 \choose r-1}(1-p)^{i}p^{r}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{i+k \choose k}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i}\times {i+k+r-1 \choose r-1}(1-p)^{i+k}p^{r}\\&=\alpha ^{k}p^{r}(1-p)^{k}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(k+i)!(i+k+r-1)!}{k!i!(r-1)!(k+i)!}}\left[(1-\alpha )(1-p)\right]^{i}\\&=\alpha ^{k}p^{r}(1-p)^{k}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(k+r-1)!(i+k+r-1)!}{k!i!(r-1)!(k+r-1)!}}\left[(1-\alpha )(1-p)\right]^{i}\\&=\alpha ^{k}p^{r}(1-p)^{k}{k+r-1 \choose r-1}\sum _{i=0}^{\infty }{i+k+r-1 \choose k+r-1}\left[(1-\alpha )(1-p)\right]^{i}\end{aligned}}$

Compte tenu de la formule :

$\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose n}x^{k}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}$

Nous obtenons :

${\begin{aligned}p(Z=k)&=\alpha ^{k}p^{r}(1-p)^{k}{k+r-1 \choose r-1}{\frac {1}{\left[1-(1-\alpha )(1-p)\right]^{k+r}}}\\&={k+r-1 \choose r-1}\left({\frac {p}{\alpha +p-\alpha p}}\right)^{r}\left({\frac {\alpha -\alpha p}{\alpha +p-\alpha p}}\right)^{k}\\&={k+r-1 \choose r-1}\left({\frac {p}{\alpha +p-\alpha p}}\right)^{r}\left(1-{\frac {p}{\alpha +p-\alpha p}}\right)^{k}\end{aligned}}$

Nous voyons alors que Z est une loi binomiale négative de paramètres :

$\left(r,{\frac {p}{\alpha +p-\alpha p}}\right)$

Nous retiendrons :

Début d’un théorème

Théorème

Une loi binomiale de paramètres (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi binomiale négative de paramètres (r,p) est assimilable à une loi binomiale négative de paramètres :

$\left(r,{\frac {p}{\alpha +p-\alpha p}}\right)$

Fin du théorème