Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale

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Soit X une loi binomiale de paramètres (n,p).

Soit Y une loi binomiale de paramètres (m,α).

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 0 à n, m prendra une valeur comprise entre 0 et n et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚0;n〛.

(X = k), k ∈〚0;n〛 étant un système complet d’événements, on a :

${\begin{aligned}p(Z=k)&=p(Y=k)\\&=\sum _{i=0}^{n}p\left[(Y=k)/(X=i)\right]\times p(X=i)\\&=\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i-k}\times {n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}\\&=\sum _{i=k}^{n}{n \choose k}{n-k \choose i-k}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i-k}p^{i}(1-p)^{n-i}\\&={n \choose k}\sum _{i=0}^{n-k}{n-k \choose i}\alpha ^{k}(1-\alpha )^{i}p^{i+k}(1-p)^{n-i-k}\\&={n \choose k}\alpha ^{k}p^{k}\sum _{i=0}^{n-k}{n-k \choose i}(1-\alpha )^{i}p^{i}(1-p)^{n-k-i}\\&={n \choose k}\alpha ^{k}p^{k}\left[(1-\alpha )p+1-p\right]^{n-k}\\&={n \choose k}(p\alpha )^{k}(1-p\alpha )^{n-k}\end{aligned}}$

Nous voyons alors que Z est une loi binomiale de paramètres (n,pα).

Nous retiendrons :

Début d’un théorème

Théorème

Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi binomiale de paramètre (n,p) est assimilable à une loi binomiale de paramètre (n,pα).

Fin du théorème