Leçons de niveau 15

Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi géométrique

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Loi binomiale conditionnée par une loi géométrique
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Loi binomiale conditionnée
Chap. préc. :Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Exemple d'une loi binomiale conditionnée par une loi géométrique
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Loi binomiale conditionnée : Loi binomiale conditionnée par une loi géométrique
Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi géométrique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Soit X une loi géométrique de paramètre (p).

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).


Une loi géométrique de paramètre (p) est une variable aléatoire qui à toute suite d’évènements identiques indépendants dont la probabilité de réalisation est p consiste à donner le rang où pour la première fois l'évènement considéré ne se réalise pas.

La loi de probabilité de la loi géométrique est :

Supposons que le paramètre m de la loi Y dépende de la variable aléatoire X. On dira alors que la loi binomiale Y est conditionnée par la loi géométrique X.


Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur la valeur obtenue par la variable (Y+1) dont le paramètre m de Y est la valeur donnée par la variable (X-1).


Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚1;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚, Y prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚1;+∞〚.

(X = k), k ∈〚1;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

Compte tenu de la formule:

Nous obtenons:

Nous voyons alors que Z est une loi géométrique de paramètre :


Nous retiendrons :


Début d’un théorème
Fin du théorème