Loi binomiale conditionnée/Loi binomiale conditionnée par une loi géométrique

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Soit X une loi géométrique de paramètre (p).

Soit Y une loi binomiale de paramètre (m,α).

Une loi géométrique de paramètre (p) est une variable aléatoire qui à toute suite d’évènements identiques indépendants dont la probabilité de réalisation est p consiste à donner le rang où pour la première fois l'évènement considéré ne se réalise pas.

La loi de probabilité de la loi géométrique est :

$p(X=k)=p^{k-1}(1-p)$

Supposons que le paramètre m de la loi Y dépende de la variable aléatoire X. On dira alors que la loi binomiale Y est conditionnée par la loi géométrique X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur la valeur obtenue par la variable (Y+1) dont le paramètre m de Y est la valeur donnée par la variable (X-1).

Remarque

Une petite difficulté apparaît ici. La loi géométrique est envisagée dans cette leçon comme l'attente du premier échec après une suite de succès. Alors que dans d’autres contextes, elle est envisagée comme l'attente du premier succès après une suite d'échecs. Comme c’est le nombre de succès qui nous intéresse, le paramètre m prendra la valeur donnée par X - 1. Comme il s'avérera que Z est aussi une loi géométrique, nous sommes amenés à faire prendre par Z la valeur donnée par Y + 1, ceci pour que Z donne la position du premier échec.

Étudions la loi de probabilité de Z.

X prenant toutes les valeurs de 〚1;+∞〚, m prendra une valeur dans 〚0;+∞〚, Y prendra ses valeurs dans 〚0;+∞〚 et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 〚1;+∞〚.

(X = k), k ∈〚1;+∞〚 étant un système complet d’événements, on a :

${\begin{aligned}p(Z=k)&=p(Y=k-1)\\&=\sum _{i=k}^{\infty }p\left[(Y=k-1)/(X=i)\right]\times p(X=i)\\&=\sum _{i=k}^{\infty }{i-1 \choose k-1}\alpha ^{k-1}(1-\alpha )^{i-k}\times p^{i-1}(1-p)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }{i+k-1 \choose k-1}\alpha ^{k-1}(1-\alpha )^{i}\times p^{i+k-1}(1-p)\\&=(1-p)\alpha ^{k-1}p^{k-1}\sum _{i=0}^{\infty }{i+k-1 \choose k-1}(1-\alpha )^{i}p^{i}\\&=(1-p)(\alpha p)^{k-1}\sum _{i=0}^{\infty }{k-1+i \choose k-1}\left[p(1-\alpha )\right]^{i}\end{aligned}}$

Compte tenu de la formule:

$\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose n}x^{k}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}$

Nous obtenons:

${\begin{aligned}p(Z=k)&=(1-p)(\alpha p)^{k-1}{\frac {1}{\left[1-p(1-\alpha )\right]^{k}}}\\&={\frac {(1-p)(\alpha p)^{k-1}}{\left(1-p+\alpha p\right)^{k}}}\\&=\left({\frac {\alpha p}{1-p+\alpha p}}\right)^{k-1}\left({\frac {1-p}{1-p+\alpha p}}\right)\\&=\left({\frac {\alpha p}{1-p+\alpha p}}\right)^{k-1}\left(1-{\frac {\alpha p}{1-p+\alpha p}}\right)\end{aligned}}$

Nous voyons alors que Z est une loi géométrique de paramètre :

$\left({\frac {\alpha p}{1-p+\alpha p}}\right)$

Nous retiendrons :

Début d’un théorème

Théorème

Une loi binomiale de paramètres (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi géométrique de paramètre (p) est assimilable à une loi géométrique de paramètre :

$\left({\frac {\alpha p}{1-p+\alpha p}}\right)$

Fin du théorème