Logique des propositions/Arbres de Quine
Règles pratiques de calcul
[modifier | modifier le wikicode]- La négation inverse les valeurs de vérité des énoncés.
- Si l'un des termes d'une conjonction est F, alors la conjonction est F; si l'un des termes est V, la valeur de vérité de la conjonction est la même que celle de l'autre terme.
- Si l'un des termes d'une disjonction est V, alors la disjonction est V; si l'un des termes est F, la valeur de vérité de la disjonction est la même que celle de l'autre terme.
- Si l’antécédent d'un conditionnel est F ou si son conséquent est V, alors le conditionnel est V; si l’antécédent est V, alors le conditionnel a la même valeur de vérité que le conséquent; si le conséquent est F, alors le conditionnel a la même valeur de vérité que la négation de l’antécédent.
- Si l'un des termes d'un biconditionnel est V, alors le biconditionnel a la même valeur de vérité que l'autre terme; si l'un des termes est F, alors le biconditionnel a la même valeur de vérité que la négation de l'autre terme.
Illustration
[modifier | modifier le wikicode]Voici une représentation de ce qu’illustrent les règles ci-dessus :
Servez-vous des tables de vérité du chapitre précédent pour comprendre le fonctionnement des arbres de Quine.
Exemple
[modifier | modifier le wikicode]Et maintenant un exemple plus concret :
On obtient ici toutes les distributions qui rendent la formule vraie :
- On observe que si a est faux, la formule sera vraie quelle que soit la valeur de vérité de c, b, et d.
- La formule sera vraie également si a est vrai et si c est faux quel que soit b et d.
- À la fin du processus, c'est-à-dire en bas de l'arbre, on constate que la formule n'est fausse que pour une seule distribution de valeurs de vérité aux atomes : Si a, b et c sont vraies et d est fausse. Toutes les autres distributions rendent la formule vraie.
