Leçons de niveau 15

Logique des propositions/Définitions

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Chapitre no 2
Leçon : Logique des propositions
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Logique des propositions/Définitions
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Syntaxe et sémantique de la logique des propositions[modifier | modifier le wikicode]

Objets de base[modifier | modifier le wikicode]

  • Un ensemble de propositions de base, appelées atomes ou propositions atomiques :
  • Un ensemble de connecteurs qui seront :
    • unaires : ne s'applique qu’à un atome
      • la négation ou non, qui s'écrit .
        Exemple : qui se prononce « non a ».
    • binaires : s'applique à deux atomes
      • la conjonction ou « et », qui s'écrit .
        Exemple : qui se prononce « a et b » ou « la conjonction de a et de b ».
      • la disjonction ou « ou », qui s'écrit .
        Exemple : qui se prononce « a ou b » ou « la disjonction de a et de b ».
      • le conditionnel ou « si… alors… », qui s'écrit .
        Exemple : qui se prononce « si a, alors b » ou « le conditionnel dont l'antécédent est a et dont le conséquent est b ».
      • le biconditionnel ou « … si et seulement si… », qui s'écrit .
        Exemple : qui se prononce « a si et seulement si b » ou « le biconditionnel de a et b ».

Règles syntaxiques[modifier | modifier le wikicode]

  • Règle 1 : Une proposition atomique est une proposition.
  • Règle 2 : Si «  » est une proposition, alors «  » est une proposition.
  • Règle 3 : Si «  » et «  » sont des propositions, alors «  » est une proposition.
  • Règle 4 : Si «  » et «  » sont des propositions, alors «  » est une proposition.
  • Règle 5 : Si «  » et «  » sont des propositions, alors «  » est une proposition.
  • Règle 6 : Si «  » et «  » sont des propositions, alors «  » est une proposition.
  • Règle 7 : Rien d’autre n'est une proposition.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Méthode pour vérifier si une expression est bien formée[modifier | modifier le wikicode]

Pour cela, on décompose l'énoncé grâce à un arbre syntaxique :

Logique2.jpg

On obtient, après décomposition, chaque atome présent dans l'énoncé initial ; aucun connecteur n'est resté : l'énoncé est donc bien une e.b.f..

Règles sémantiques[modifier | modifier le wikicode]

  • Règle 1 : Les propositions atomiques sont affectées de la valeur de vérité VRAI (V) ou FAUX (F).
  • Règle 2 : Si "" est une proposition, alors la valeur de vérité de est :
    • V si celle de est F
    • F si celle de est V
  • Règle 3 : Si "" et "" sont des propositions, la valeur de vérité de est :
    • V si et seulement si les valeurs de vérité de et de sont V
    • F si l'une des valeurs de vérité de ou est F
  • Règle 4 : Si "" et "" sont des propositions, la valeur de vérité de est :
    • V si l'une des valeurs de vérité de ou est V
    • F si et seulement si les valeurs de vérité de et de sont F
  • Règle 5 : Si "" et "" sont des propositions, la valeur de vérité de est V dans tous les cas SAUF si la valeur de vérité de l' antécédent () est V et que la valeur de vérité du conséquent () est F.
  • Règle 6 : Si "" et "" sont des propositions, la valeur de vérité de est V si et seulement si et ont la même valeur de vérité.

Tableau de vérité de la négation ()[modifier | modifier le wikicode]

V F
F V

Tableau de vérité de la conjonction ()[modifier | modifier le wikicode]

\ V F
V V F
F F F

Tableau de vérité de la disjonction ()[modifier | modifier le wikicode]

\ V F
V V V
F V F

Tableau de vérité du conditionnel ()[modifier | modifier le wikicode]

\ V F
V V F
F V V

Tableau de vérité du biconditionnel ()[modifier | modifier le wikicode]

\ V F
V V F
F F V

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Reprenons l'exemple précèdent:

Logique2.jpg

On va attribuer une valeur de vérité à chaque atome (soit vrai soit faux) puis voir ce que nous révèle l'arbre ci-dessus vis-à-vis de la valeur vérité de l'énoncé de départ :

  • On suppose que les valeurs de vérité de sont respectivement dans cet ordre : V,V,F,F,V.
  • On va partir du bas de l'arbre qu'on appelle les feuilles, écrire la valeur de vérité de chaque feuille/atome à côté de ce dernier, puis remonter au nœud supérieur, ainsi de suite jusqu'à la racine en se servant des tableaux de vérité plus haut :


Partons par exemple du qui est complètement à droite : On a supposé que sa valeur de vérité était faux.

Au-dessus, nous avons , qui sera donc vrai.

À côté de , on a , qui est faux.

La formule du dessus, , si l’on se réfère au tableau de vérité du conditionnel, on a F V qui nous donne V.

Si on remonte d'un niveau, on a , qui sera donc faux puisque c’est la négation d'un énoncé vrai.

On remonte ainsi de suite jusqu'à la racine comme cela :

Logique3.jpg

On obtient ainsi qui est VRAI avec cette distribution des valeurs de vérités aux atomes : il est important de souligner que si l’on change la distribution initiale, le résultat final peut changer à tout moment.

Pour vous entraîner, essayez de refaire cet exercice en changeant la distribution :

Par exemple :
  • F,F,F,F,F
  • V,V,V,V,V
  • F,V,F,V,F
  • ...