Intégration de Riemann/Propriétés de l'intégrale

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Du fait de la construction théorique proposée à la page précédente, chacune des propriétés sera démontrée pour les fonctions en escalier. Un « passage à la limite » suffit alors pour obtenir les résultats sur les fonctions continues par morceaux.

Dans tout ce chapitre, $f$ et $g$ sont des fonctions continues par morceaux sur $[a,b]$.

Propriété : linéarité de l'intégrale

• $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} x$ ;
• $\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \int _{a}^{b}\lambda f(x)\ \mathrm {d} x=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x$.

Démonstration

Montrons la première propriété.

Pour les fonctions en escalier, la démonstration est purement calculatoire :

$\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})$ et $\int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})g(a_{i})$ (où $(a_{0};a_{1};\cdots ;a_{n})$ est une subdivision adaptée à $f$ et $g$ à la fois). Il est alors clair, par les propriétés de la somme, que :

$\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})(f(a_{i})+g(a_{i}))=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})\,+\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})g(a_{i})\,=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} x$.

La preuve de la seconde propriété est analogue.

 

Propriété : intégrale et ordre

• $f\geq 0\Rightarrow \int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x\geq 0$ ;
• $f\geq g\Rightarrow \int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x\geq \int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} x$.

Démonstration

Soit $f\in {\mathcal {E}}([a,b])$.

Si $f\geq 0$, alors $\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})\geq 0$ puisque $a_{i+1}>a_{i}$ et $f(a_{i})\geq 0$.

Le deuxième résultat se déduit du premier en considérant l'intégrale $\int _{a}^{b}(f(x)-g(x))\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x+(-1)\int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} x$ et en utilisant la linéarité de l'intégrale.

 

Relation de Chasles

$\forall c\in ]a,b[\quad \int _{a}^{c}f(x)\ \mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x$.

Démonstration

Si $f$ est en escalier sur $[a,b]$ et si $(a_{0};a_{1};\cdots ;a_{p}=c;\cdots ;a_{n})$ est une subdivision de $[a,b]$ adaptée à $f$, alors :

$\int _{a}^{c}f(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=0}^{p-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})$

$\int _{c}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=\sum _{i=p}^{n-1}(a_{i+1}-a_{i})f(a_{i})$.

 

Définition

• $\int _{b}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x$ ;
• $\int _{a}^{a}f(x)\ \mathrm {d} x=0$.

Propriété : intégrale et valeur absolue

$\left|\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\ \mathrm {d} x$.

Démonstration

$-|f|\leq f\leq |f|$ donc $-\int _{a}^{b}|f(x)|\ \mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\ \mathrm {d} x$.

 

Définition : valeur moyenne d'une fonction

La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[a,b]$ est le réel :

$\mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x$.

Interprétation graphique : $\mu$ est la valeur de la fonction constante qui aurait sur $[a,b]$ la même intégrale que $f$ .

La propriété qui suit est un corollaire bien pratique de la propriété « intégrale et ordre » :

Inégalité de la moyenne

Soient $m,M\in \mathbb {R}$.

Si $\forall x\in [a,b]\quad m\leq f(x)\leq M$, alors $m\leq \mu \leq M$.

On démontre en algèbre linéaire que l'application

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\begin{array}{lcl}{\mathcal {CM}}([a,b])&\rightarrow &\mathbb {R} \\(f,g)&\mapsto &\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ \mathrm {d} x\end{array}}$

est un produit scalaire et l'on en déduit l'inégalité de Cauchy-Schwarz (ici énoncée pour les intégrales) :

Inégalité de Cauchy-Schwarz pour les intégrales

$\left|\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ \mathrm {d} x\right|\leq {\sqrt {\int _{a}^{b}(f(x))^{2}\ \mathrm {d} x\ \int _{a}^{b}(g(x))^{2}\ \mathrm {d} x}}$.

Enfin, une dernière propriété des intégrales de fonctions continues :

Propriété

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ ($a<b$), positive et d'intégrale nulle, alors $f=0$.

Démonstration

Soit $F:[a,b]\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t$. Par hypothèse, $F'=f\geq 0$ (cf. chapitre suivant) et $F(b)=0$, donc $F$ est croissante et $F(b)=F(a)$, ce qui prouve que $F$ est en fait constante et donc sa dérivée $f$ est nulle.

 

Remarque

Dans ce théorème, les deux hypothèses sur $f$ (continuité et signe constant) sont indispensables. Par exemple, sur $[-1,1]$ :

• la fonction (non continue) qui vaut $1$ en $0$ et qui est nulle ailleurs est d'intégrale nulle mais non constamment nulle ;
• les fonctions impaires non constamment nulles (donc de signe non constant) sont d'intégrale nulle.