Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3

Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé.

Exercice 22-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=\frac{x^2}{4}$ ;

$g(x)=-\frac{x^2}{4}+x+12$.

Solution

$g(x)-f(x)=-\frac{x^2}{2}+x+12=-\frac{(x+4)(x-6)}{2}$.

${\int }_{-4}^6(g-f)={[-2{\left(\frac{x}{2}\right)}^3+2{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+12x]}_{-4}^6=-2(27+8)+2(9-4)+12(6+4)=60$.

 

Exercice 22-2

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=\cos x$ ;

$g(x)=\frac{2x}{\pi }+1$.

Solution

${\int }_{-\pi }^0|f-g|=2{\int }_{-\pi /2}^0(f-g)=2{[\sin x-\frac{x^2}{\pi }-x]}_{-\pi /2}^0=-2(-1-\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2})=2-\frac{\pi }{2}$.

 

Exercice 22-3

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^4$ ;

$g(x)=\sqrt[4]{x}$.

Solution

${\int }_0^1(g-f)={\left[\frac{4x^{5/4}-x^5}{5}\right]}_0^1=\frac{3}{5}$.

 

Exercice 22-4

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^2$ ;

$g(x)=x+2$.

Solution

$g(x)-f(x)=-(x-2)(x+1)$.

${\int }_{-1}^2(g-f)={[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x]}_{-1}^2=\frac{9}{2}$.

 

Exercice 22-5

On considère la fonction $f_{a,b}:=a\sin +b{\sin }^3$.

1°  Calculer $f_{a^{\prime },b}$ et $f_{a^{″},b}$.

2°  En déduire l'expression générale des primitives de la fonction $f_{a,b}$.

3°  Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative $C$ passe par le point $A(\pi /2,0)$ et a une tangente au point d'abscisse $0$ parallèle à la première bissectrice ? Soit $f$ cette fonction.

4°  Étudier la variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

5°  Calculer l’aire comprise entre la courbe $C$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\pi /2$, et donner le résultat en centimètres carrés (unité graphique 2 cm).

Solution

1. $f_{a^{\prime },b}=a\cos +3b{\sin }^2\cos =(a+3b)\cos -3b{\cos }^3$ et $f_{a^{″},b}=-(a+3b)\sin +9b{\cos }^2\sin =(6b-a)\sin -9b{\sin }^3=f_{6b-a,-9b}$.
2. D'après la question précédente, une primitive de $f_{a,b}$ est $c\cos +d{\cos }^3+k$ avec $c,d$ définis par $a=-3d-c$ et $b=3d$, c'est-à-dire $d=b/3$ et $c=-a-b$. Les primitives de $f_{a,b}$ sont donc les fonctions $-(a+b)\cos +(b/3){\cos }^3+k$, avec $k\in ℝ$.
3. $(0=f_{a,b}(\pi /2)=a+b\text{et}1=f{\text{'}}_{a,b}(0)=a)\iff (a,b)=(1,-1)$ donc $f=\sin -{\sin }^3=\sin {\cos }^2$.
4. $f$ est impaire et $f(\pi -x)=f(x)$, donc il suffit de l'étudier sur $[0,\pi /2]$. Sur cet intervalle, elle est croissante jusqu'à $\arcsin (1/\sqrt{3})$ puis décroissante, avec $f(0)=f(\pi /2)=0$.
   
5. ${[-{\cos }^3/3]}_0^{\frac{\pi }{2}}=$¹⁄₃ unité d'aire, soit ⁴⁄₃ cm².

 

Exercice 22-6

1°  Soit $f_a$ la fonction définie par :

$f_a(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x^2+ax+1}$

où $a$ est un nombre réel donné.

Pour quelles valeurs de $a$ cette fonction est-elle définie sur $ℝ$ tout entier ?

En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction.

2°  Construire la courbe $C_0$ représentant la fonction $f_0$.

Démontrer que la courbe $C_0$ a un centre de symétrie $A$. On notera que $f_0(x)$ peut s'écrire sous la forme :

$f_0(x)=1+\frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer la tangente en $A$ à la courbe.

3°  Soit $M$ le point de $C_0$ représentant le maximum de la fonction $f_0$.

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc $\stackrel{⌢}{AM}$ de $C_0$ et sa corde.

Solution

1. $a^2-4<0\iff a\in ]-2,2[$.
   $f^{\prime }(x)=\frac{(2-a)(1-x^2)}{(x^2+ax+1{)}^2}$ donc $f$ est croissante sur $[-1,1]$ et décroissante sur $]-\mathrm{\infty },-1]$ et sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. Sa limite en $\pm \mathrm{\infty }$ est $1$, et $f(-1)=0$, $f(1)=\frac{4}{2+a}$.
2. Le tableau de variation est ː
   
   Le tracé de la courbe $C_0$ est alors ː
   
   La courbe $C_0$ est symétrique par rapport au point $A(0,1)$ car $x\mapsto f_0-1$ est impaire.
   La tangente en ce point a pour équation $y=2x+1$.
3. $M$ a pour coordonnées $(1,2)$ donc $(AM)$ a pour équation $y=1+x$.
   ${\int }_0^1(f_0(x)-1-x)\mathrm{d}x={\int }_0^1(\frac{2x}{x^2+1}-x)\mathrm{d}x={[\ln (x^2+1)-\frac{x^2}{2}]}_0^1=\ln 2-\frac{1}{2}$.

 

Exercice 22-7

1°  Déterminer toutes les racines du polynôme $2x^3+x^2-3$, en remarquant qu'il s'annule pour $x=1$.

2°  Étudier la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{x^3+x^2+3}{x}$

et en construire la courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal.

3°  Préciser la position de la courbe $C$ par rapport à la parabole $P$ d'équation $y=x^2+x$.

4°  Calculer, en fonction de $a(a>1)$, l'aire de la région limitée par la courbe $C$, la parabole $P$, la droite $x=1$ et la droite $x=a$.

5°  Déterminer $a$, à $\mathrm{0,01}$ près, pour que cette aire soit égale à $1$.

Solution

1. $\frac{2x^3+x^2-3}{x-1}=2x^2+3x+3>0$.
2. $f$ est définie sur ${ℝ}^{\ast }$. Grâce à la question précédente, $f^{\prime }(x)=\frac{2x^3+x^2-3}{x^2}$ est du signe de $x-1$ donc $f$ est décroissante sur $]-\mathrm{\infty },0[$ et sur $]0,1]$, puis croissante sur $[1,+\mathrm{\infty }[$. $\underset{-\mathrm{\infty }}{lim}f=\underset{+\mathrm{\infty }}{lim}f=\underset{0^{+}}{lim}f=+\mathrm{\infty },\underset{0^{-}}{lim}f=-\mathrm{\infty },f(1)=5$
   Le tableau de variation est ː
   
   Le tracé de la courbe $C$ (en noir sur le dessin) est alors ː
   
3. $f(x)-(x^2+x)=\frac{3}{x}$ donc $C$ est au-dessus de $P$ pour $x>0$ et en dessous pour $x<0$.
   La parabole $P$ a été représentée en vert sur le tracé ci-dessus et joue le rôle d'asymptote parabolique vis-à-vis de $C$.
4. $3{\int }_1^a\frac{\mathrm{d}x}{x}=3\ln a$.
5. $a=\sqrt[3]{\mathrm{e}}\approx \mathrm{1,40}$.

 

Exercice 22-8

Quelle est l'aire de la surface comprise entre les courbes d'équations $y=x^2$ et $y=2-x$ pour $-3\le x\le 2$ ?

Solution

$x^2-(2-x)=x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

donc

${\int }_{-3}^2|x^2-(2-x)|\mathrm{d}x={\int }_{-3}^{-2}(x^2+x-2)\mathrm{d}x-{\int }_{-2}^1(x^2+x-2)\mathrm{d}x+{\int }_1^2(x^2+x-2)\mathrm{d}x={[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x]}_{-3}^{-2}-{[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x]}_{-2}^1+{[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x]}_1^2=\frac{11}{6}+\frac{9}{2}+\frac{11}{6}=\frac{31}{6}$.