Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3

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Calculs d'aires 3
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Exercices no22
Leçon : Intégration en mathématiques
Chapitre du cours : Aire et intégrale

Ces exercices sont de niveau 13.

Exo préc. :Calculs d'aires 2
Exo suiv. :Sommaire
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Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3
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Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé.

Exercice 22-1[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions et définies par :

 ;
.

Exercice 22-2[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions et définies par :

 ;
.

Exercice 22-3[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions et définies par :

 ;
.

Exercice 22-4[modifier | modifier le wikicode]

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions et définies par :

 ;
.

Exercice 22-5[modifier | modifier le wikicode]

On considère la fonction .

 Calculer et .

 En déduire l'expression générale des primitives de la fonction .

 Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative passe par le point et a une tangente au point d'abscisse parallèle à la première bissectrice ? Soit cette fonction.

 Étudier la variation de et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal .

 Calculer l’aire comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives et , et donner le résultat en centimètres carrés (unité graphique 2 cm).

Exercice 22-6[modifier | modifier le wikicode]

 Soit la fonction définie par :

est un nombre réel donné.
Pour quelles valeurs de cette fonction est-elle définie sur tout entier ?
En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction.

 Construire la courbe représentant la fonction .

Démontrer que la courbe a un centre de symétrie . On notera que peut s'écrire sous la forme :
.
Déterminer la tangente en à la courbe.

 Soit le point de représentant le maximum de la fonction .

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc de et sa corde.

Exercice 22-7[modifier | modifier le wikicode]

 Déterminer toutes les racines du polynôme , en remarquant qu'il s'annule pour .

 Étudier la fonction définie par :

et en construire la courbe représentative dans un repère orthonormal.

 Préciser la position de la courbe par rapport à la parabole d'équation .

 Calculer, en fonction de , l'aire de la région limitée par la courbe , la parabole , la droite et la droite .

 Déterminer , à près, pour que cette aire soit égale à .