Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3

Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé.

Exercice 22-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)={\frac {x^{2}}{4}}$ ;

$g(x)=-{\frac {x^{2}}{4}}+x+12$.

Solution

$g(x)-f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}+x+12=-{\frac {(x+4)(x-6)}{2}}$.

$\int _{-4}^{6}(g-f)=\left[-2\left({\frac {x}{2}}\right)^{3}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+12x\right]_{-4}^{6}=-2(27+8)+2(9-4)+12(6+4)=60$.

 

Exercice 22-2

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=\cos x$ ;

$g(x)={\frac {2x}{\pi }}+1$.

Solution

$\int _{-\pi }^{0}|f-g|=2\int _{-\pi /2}^{0}(f-g)=2\left[\sin x-{\frac {x^{2}}{\pi }}-x\right]_{-\pi /2}^{0}=-2\left(-1-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=2-{\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 22-3

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^{4}$ ;

$g(x)={\sqrt[{4}]{x}}$.

Solution

$\int _{0}^{1}(g-f)=\left[{\frac {4x^{5/4}-x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}$.

 

Exercice 22-4

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^{2}$ ;

$g(x)=x+2$.

Solution

$g(x)-f(x)=-(x-2)(x+1)$.

$\int _{-1}^{2}(g-f)=\left[-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+2x\right]_{-1}^{2}={\frac {9}{2}}$.

 

Exercice 22-5

On considère la fonction $f_{a,b}:=a\sin +b\sin ^{3}$.

1°  Calculer $f_{a,b}'$ et $f_{a,b}''$.

2°  En déduire l'expression générale des primitives de la fonction $f_{a,b}$.

3°  Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative $C$ passe par le point $A\left(\pi /2,0\right)$ et a une tangente au point d'abscisse $0$ parallèle à la première bissectrice ? Soit $f$ cette fonction.

4°  Étudier la variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$.

5°  Calculer l’aire comprise entre la courbe $C$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations respectives $x=0$ et $x=\pi /2$, et donner le résultat en centimètres carrés (unité graphique 2 cm).

Solution

1. $f_{a,b}'=a\cos +3b\sin ^{2}\cos =(a+3b)\cos -3b\cos ^{3}$ et $f_{a,b}''=-(a+3b)\sin +9b\cos ^{2}\sin =(6b-a)\sin -9b\sin ^{3}=f_{6b-a,-9b}$.
2. D'après la question précédente, une primitive de $f_{a,b}$ est $c\cos +d\cos ^{3}+k$ avec $c,d$ définis par $a=-3d-c$ et $b=3d$, c'est-à-dire $d=b/3$ et $c=-a-b$. Les primitives de $f_{a,b}$ sont donc les fonctions $-(a+b)\cos +(b/3)\cos ^{3}+k$, avec $k\in \mathbb {R}$.
3. $\left(0=f_{a,b}(\pi /2)=a+b\quad {\text{et}}\quad 1=f'_{a,b}(0)=a\right)\Leftrightarrow (a,b)=(1,-1)$ donc $f=\sin -\sin ^{3}=\sin \cos ^{2}$.
4. $f$ est impaire et $f(\pi -x)=f(x)$, donc il suffit de l'étudier sur $\left[0,\pi /2\right]$. Sur cet intervalle, elle est croissante jusqu'à $\arcsin(1/{\sqrt {3}})$ puis décroissante, avec $f(0)=f(\pi /2)=0$.
   
5. $\left[-\cos ^{3}/3\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}=$¹⁄₃ unité d'aire, soit ⁴⁄₃ cm².

 

Exercice 22-6

1°  Soit $f_{a}$ la fonction définie par :

$f_{a}(x)={\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}+ax+1}}$

où $a$ est un nombre réel donné.

Pour quelles valeurs de $a$ cette fonction est-elle définie sur $\mathbb {R}$ tout entier ?

En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction.

2°  Construire la courbe $C_{0}$ représentant la fonction $f_{0}$.

Démontrer que la courbe $C_{0}$ a un centre de symétrie $A$. On notera que $f_{0}(x)$ peut s'écrire sous la forme :

$f_{0}(x)=1+{\frac {2x}{x^{2}+1}}$.

Déterminer la tangente en $A$ à la courbe.

3°  Soit $M$ le point de $C_{0}$ représentant le maximum de la fonction $f_{0}$.

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc ${\overset {\displaystyle \frown }{AM}}$ de $C_{0}$ et sa corde.

Solution

1. $a^{2}-4<0\Leftrightarrow a\in \left]-2,2\right[$.
   $f'(x)={\frac {(2-a)(1-x^{2})}{(x^{2}+ax+1)^{2}}}$ donc $f$ est croissante sur $\left[-1,1\right]$ et décroissante sur $\left]-\infty ,-1\right]$ et sur $\left[1,+\infty \right[$. Sa limite en $\pm \infty$ est $1$, et $f(-1)=0$, $f(1)={\frac {4}{2+a}}$.
2. Le tableau de variation est ː
   
   Le tracé de la courbe $C_{0}$ est alors ː
   
   La courbe $C_{0}$ est symétrique par rapport au point $A(0,1)$ car $x\mapsto f_{0}-1$ est impaire.
   La tangente en ce point a pour équation $y=2x+1$.
3. $M$ a pour coordonnées $(1,2)$ donc $(AM)$ a pour équation $y=1+x$.
   $\int _{0}^{1}\left(f_{0}(x)-1-x\right)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {2x}{x^{2}+1}}-x\right)\,\mathrm {d} x=\left[\ln \left(x^{2}+1\right)-{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}=\ln 2-{\frac {1}{2}}$.

 

Exercice 22-7

1°  Déterminer toutes les racines du polynôme $2x^{3}+x^{2}-3$, en remarquant qu'il s'annule pour $x=1$.

2°  Étudier la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\frac {x^{3}+x^{2}+3}{x}}$

et en construire la courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal.

3°  Préciser la position de la courbe $C$ par rapport à la parabole $P$ d'équation $y=x^{2}+x$.

4°  Calculer, en fonction de $a\quad (a>1)$, l'aire de la région limitée par la courbe $C$, la parabole $P$, la droite $x=1$ et la droite $x=a$.

5°  Déterminer $a$, à $0{,}01$ près, pour que cette aire soit égale à $1$.

Solution

1. ${\frac {2x^{3}+x^{2}-3}{x-1}}=2x^{2}+3x+3>0$.
2. $f$ est définie sur $\mathbb {R} ^{*}$. Grâce à la question précédente, $f'(x)={\frac {2x^{3}+x^{2}-3}{x^{2}}}$ est du signe de $x-1$ donc $f$ est décroissante sur $\left]-\infty ,0\right[$ et sur $\left]0,1\right]$, puis croissante sur $\left[1,+\infty \right[$. $\lim _{-\infty }f=\lim _{+\infty }f=\lim _{0^{+}}f=+\infty ,\,\lim _{0^{-}}f=-\infty ,\,f(1)=5$
   Le tableau de variation est ː
   
   Le tracé de la courbe $C$ (en noir sur le dessin) est alors ː
   
3. $f(x)-\left(x^{2}+x\right)={\frac {3}{x}}$ donc $C$ est au-dessus de $P$ pour $x>0$ et en dessous pour $x<0$.
   La parabole $P$ a été représentée en vert sur le tracé ci-dessus et joue le rôle d'asymptote parabolique vis-à-vis de $C$.
4. $3\int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=3\ln a$.
5. $a={\sqrt[{3}]{\mathrm {e} }}\approx 1{,}40$.

 

Exercice 22-8

Quelle est l'aire de la surface comprise entre les courbes d'équations $y=x^{2}$ et $y=2-x$ pour $-3\leq x\leq 2$ ?

Solution

$x^{2}-(2-x)=x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$

donc

$\int _{-3}^{2}\left|x^{2}-(2-x)\right|\,\mathrm {d} x=\int _{-3}^{-2}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x-\int _{-2}^{1}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x+\int _{1}^{2}\left(x^{2}+x-2\right)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{-3}^{-2}-\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{-2}^{1}+\left[{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}-2x\right]_{1}^{2}={\frac {11}{6}}+{\frac {9}{2}}+{\frac {11}{6}}={\frac {31}{6}}$.