Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Devoir/Encadrement du nombre e

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Encadrement du nombre e
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Devoir no1
Leçon : Intégration en mathématiques

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. :Sommaire
Dev suiv. :e est-il un rationnel ?
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Intégration en mathématiques/Devoir/Encadrement du nombre e
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 Pour tout entier naturel , on considère l'application définie par :

.
a)  Pour , donner le tableau de variation de , en distinguant les deux cas : pair et impair.
b)  Tracer, dans un repère orthonormal , les courbes représentatives des fonctions et  ; on précisera la position relative de ces courbes.
c)  En revenant au cas général, montrer que, si , alors on a :
.

 Soit :

.
a)  Calculer .
b)  À l'aide d'une intégration par parties, démontrer la relation de récurrence :
.
c)  Démontrer que l'on a :
,
c'est-à-dire : .
Quelle est la limite, pour fixé, de quand tend vers  ?

 On pose .

a)  Démontrer que .
En déduire, en utilisant le calcul de , que l'on a :
et
.
b)  Quelle est la limite, quand tend vers , de  ?
c)  En calculant , donner le meilleur encadrement, permis par ce calcul, du nombre .