Leçons de niveau 13

Intégration en mathématiques/Devoir/Intégrales eulériennes

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Intégrales eulériennes
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Devoir no5
Leçon : Intégration en mathématiques

Ce devoir est de niveau 13.

Dev préc. : Fonctions définies par une intégrale 2
Dev suiv. : Sommaire
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Intégration en mathématiques/Devoir/Intégrales eulériennes
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— Ⅰ —

Soit une primitive, sur , de l'application qui, à tout réel , associe :

.

 Soit l’application de l'intervalle dans définie par :

.
Prouver que est dérivable sur , puis que est une fonction affine.

 Montrer que :

.


— Ⅱ —

On considère l'application de dans définie par :

.

 En majorant convenablement pour , trouver la limite de la suite .

 Montrer que :

(on pourra utiliser une intégration par parties) et en déduire que :
.


— Ⅲ —

 Après avoir remarqué que :

,
simplifier, pour , l'expression de
.

 Quelle est la limite de la suite définie par :

 ?