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Devoir : Intégrales eulériennesIntégration en mathématiques/Devoir/Intégrales eulériennes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
— Ⅰ —
Soit
f
{\displaystyle f}
une primitive, sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, de l'application
φ
{\displaystyle \varphi }
qui, à tout réel
t
{\displaystyle t}
, associe :
φ
(
t
)
=
1
2
t
2
−
2
t
+
1
{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}}
.
1° Soit
g
{\displaystyle g}
l’application de l'intervalle
S
=
]
−
π
2
,
π
2
[
{\displaystyle S=\left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[}
dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
définie par :
g
(
u
)
=
f
(
1
+
tan
u
2
)
{\displaystyle g(u)=f\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)}
.
Prouver que
g
{\displaystyle g}
est dérivable sur
S
{\displaystyle S}
, puis que
g
{\displaystyle g}
est une fonction affine.
2° Montrer que :
π
2
=
∫
0
1
d
t
2
t
2
−
2
t
+
1
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}-2t+1}}}
.
— Ⅱ —
On considère l'application
I
{\displaystyle I}
de
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
dans
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
définie par :
I
(
p
,
q
)
=
∫
0
1
t
p
(
1
−
t
)
q
d
t
{\displaystyle I(p,q)=\int _{0}^{1}t^{p}(1-t)^{q}\,\mathrm {d} t}
.
1° En majorant convenablement
t
(
1
−
t
)
{\displaystyle t(1-t)}
pour
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in [0,\,1]}
, trouver la limite de la suite
(
2
n
I
(
n
,
n
)
)
n
∈
N
{\displaystyle \left(2^{n}I(n,n)\right)_{n\in \mathbb {N} }}
.
2° Montrer que :
∀
(
p
,
q
)
∈
N
×
N
I
(
p
+
1
,
q
+
1
)
=
q
+
1
p
+
2
I
(
p
+
2
,
q
)
{\displaystyle \forall (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \quad I(p+1,q+1)={\frac {q+1}{p+2}}I(p+2,q)}
(on pourra utiliser une intégration par parties) et en déduire que :
∀
(
p
,
q
)
∈
N
×
N
I
(
p
,
q
)
=
q
!
p
!
(
p
+
q
+
1
)
!
{\displaystyle \forall (p,q)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} \quad I(p,q)={\frac {q!\,p!}{(p+q+1)!}}}
.
— Ⅲ —
1° Après avoir remarqué que :
2
t
2
−
2
t
+
1
=
1
−
2
t
(
1
−
t
)
{\displaystyle 2t^{2}-2t+1=1-2t(1-t)}
,
simplifier, pour
t
∈
]
0
,
1
[
{\displaystyle t\in \left]0,1\right[}
, l'expression de
1
2
t
2
−
2
t
+
1
−
∑
k
=
0
n
2
k
t
k
(
1
−
t
)
k
{\displaystyle {\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-\sum _{k=0}^{n}2^{k}t^{k}(1-t)^{k}}
.
2° Quelle est la limite de la suite
w
{\displaystyle w}
définie par :
∀
n
∈
N
w
n
=
∑
k
=
0
n
2
k
(
k
!
)
2
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad w_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}}}
?
Corrigé
Ⅰ 1°
g
{\displaystyle g}
est dérivable sur
S
{\displaystyle S}
comme composée de
u
↦
1
+
tan
u
2
{\displaystyle u\mapsto {\frac {1+\tan u}{2}}}
, dérivable sur
S
{\displaystyle S}
et de
f
{\displaystyle f}
, dérivable sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
.
Pour tout
u
∈
S
{\displaystyle u\in S}
,
g
′
(
u
)
=
f
′
(
1
+
tan
u
2
)
×
tan
′
u
2
=
1
+
tan
2
u
4
(
1
+
tan
u
2
)
2
−
4
(
1
+
tan
u
2
)
+
2
=
1
{\displaystyle g'(u)=f'\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)\times {\frac {\tan 'u}{2}}={\frac {1+\tan ^{2}u}{4\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)^{2}-4\left({\frac {1+\tan u}{2}}\right)+2}}=1}
donc
g
(
u
)
=
u
+
k
{\displaystyle g(u)=u+k}
pour une certaine constante
k
∈
R
{\displaystyle k\in \mathbb {R} }
(qui dépend du choix de la primitive
f
{\displaystyle f}
).
2°
∫
0
1
d
t
2
t
2
−
2
t
+
1
=
f
(
1
)
−
f
(
0
)
=
g
(
π
4
)
−
g
(
−
π
4
)
=
π
4
+
k
−
−
π
4
−
k
=
π
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{2t^{2}-2t+1}}=f(1)-f(0)=g\left({\frac {\pi }{4}}\right)-g\left({\frac {-\pi }{4}}\right)={\frac {\pi }{4}}+k-{\frac {-\pi }{4}}-k={\frac {\pi }{2}}}
.
Ⅱ 1° Pour
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle t\in \left[0,1\right]}
,
0
≤
t
(
1
−
t
)
=
1
4
−
(
t
−
1
2
)
2
≤
1
4
{\displaystyle 0\leq t(1-t)={\frac {1}{4}}-\left(t-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\leq {\frac {1}{4}}}
donc
0
≤
I
(
n
,
n
)
≤
1
4
n
{\displaystyle 0\leq I(n,n)\leq {\frac {1}{4^{n}}}}
donc
2
n
I
(
n
,
n
)
→
0
{\displaystyle 2^{n}I(n,n)\to 0}
.
2°
I
(
p
+
1
,
q
+
1
)
=
[
t
p
+
2
p
+
2
(
1
−
t
)
q
+
1
]
0
1
⏟
=
0
+
q
+
1
p
+
2
I
(
p
+
2
,
q
)
{\displaystyle I(p+1,q+1)=\underbrace {\left[{\frac {t^{p+2}}{p+2}}(1-t)^{q+1}\right]_{0}^{1}} _{=0}+{\frac {q+1}{p+2}}I(p+2,q)}
et
I
(
p
+
q
,
0
)
=
1
p
+
q
+
1
{\displaystyle I(p+q,0)={\frac {1}{p+q+1}}}
donc
I
(
p
,
q
)
=
q
p
+
1
I
(
p
+
1
,
q
−
1
)
=
q
p
+
1
q
−
1
p
+
2
I
(
p
+
2
,
q
−
2
)
=
⋯
=
q
p
+
1
q
−
1
p
+
2
…
1
p
+
q
I
(
p
+
q
,
0
)
=
q
!
p
!
(
p
+
q
+
1
)
!
{\displaystyle I(p,q)={\frac {q}{p+1}}I(p+1,q-1)={\frac {q}{p+1}}{\frac {q-1}{p+2}}I(p+2,q-2)=\dots ={\frac {q}{p+1}}{\frac {q-1}{p+2}}\dots {\frac {1}{p+q}}I(p+q,0)={\frac {q!\,p!}{(p+q+1)!}}}
.
Ⅲ 1° Soit
s
=
2
t
(
1
−
t
)
{\displaystyle s=2t(1-t)}
. Alors,
1
2
t
2
−
2
t
+
1
−
∑
k
=
0
n
2
k
t
k
(
1
−
t
)
k
=
1
1
−
s
−
1
−
s
n
+
1
1
−
s
=
s
n
+
1
1
−
s
=
2
n
+
1
t
n
+
1
(
1
−
t
)
n
+
1
2
t
2
−
2
t
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-\sum _{k=0}^{n}2^{k}t^{k}(1-t)^{k}={\frac {1}{1-s}}-{\frac {1-s^{n+1}}{1-s}}={\frac {s^{n+1}}{1-s}}={\frac {2^{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n+1}}{2t^{2}-2t+1}}}
.
2°
w
n
=
∑
k
=
0
n
2
k
I
(
k
,
k
)
=
∫
0
1
(
1
2
t
2
−
2
t
+
1
−
2
n
+
1
t
n
+
1
(
1
−
t
)
n
+
1
2
t
2
−
2
t
+
1
)
d
t
=
π
2
−
J
n
+
1
→
π
2
{\displaystyle w_{n}=\sum _{k=0}^{n}2^{k}I(k,k)=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2t^{2}-2t+1}}-{\frac {2^{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n+1}}{2t^{2}-2t+1}}\right)\,\mathrm {d} t={\frac {\pi }{2}}-J_{n+1}\to {\frac {\pi }{2}}}
car
0
≤
J
n
:=
2
n
∫
0
1
t
n
(
1
−
t
)
n
2
(
t
−
1
2
)
2
+
1
2
d
t
≤
2
n
+
1
I
(
n
,
n
)
→
0
{\displaystyle 0\leq J_{n}:=2^{n}\int _{0}^{1}{\frac {t^{n}(1-t)^{n}}{2\left(t-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}}}\,\mathrm {d} t\leq 2^{n+1}I(n,n)\to 0}
.