Initiation au calcul intégral/Exercices/Primitives et logarithme

Nous nous proposons, dans cet exercice, de calculer une primitive de $f(x)=\frac{5}{x^2+x-6}$

1. Factoriser $x^2+x-6$

2. Calculer a et b tels que $f(x)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

3. En déduire une primitive de f sur $]2;+\mathrm{\infty }[$

Solution

1.

Méthode générale

On cherche les deux racines du polynôme, à partir du discriminant :

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac=1^2-4\times (-6)=1+24=25$

On a $\mathrm{\Delta }>0$, donc le polynôme admet deux racines :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-1+5}{2}=2$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{-1-5}{2}=-3$

Ainsi, on peut factoriser le polynôme sous la forme :

$x^2+x-6=(x-2)\times (x+3)$

Autre méthode

Une racine évidente de ce polynôme est x₁ = 2. Pourtant, il ne s'agit pas d'une identité remarquable. Par conséquent, il admet deux racines réelles.

On sait que la somme des racines égale -b/a = -1 et on trouve la seconde racine y. On résout ainsi directement le problème :

$x^2+x-6=(x-2)\times (x+3)$

2. Il existe principalement trois méthodes pour résoudre cette question :

Première méthode

$f(x)=\frac{5}{x^2+x-6}$

Et on cherche a et b tels que :

$f(x)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

Mettons ces fractions au même dénominateur :

$\begin{array}{cc}\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}& =\frac{a(x-2)}{(x+3)\times (x+3)}+\frac{b(x+3)}{(x-2)\times (x-2)}\\ & =\frac{ax+3a+bx-2b}{(x+3)\times (x-2)}\\ & =\frac{(a+b)x+3a-2b}{(x+3)\times (x-2)}\\ & =\frac{(a+b)x+3a-2b}{x^2+x-6}\end{array}$

Les nombres a et b sont ainsi solution lorsque :

$\{\begin{array}{c}a+b=0\\ 3a-2b=5\end{array}$

La première relation impose b = -a. En remplaçant dans la seconde :

$3a+2a=5$

On trouve :

$a=1b=-1$.

Nous obtenons donc :

$f(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$

Deuxième méthode

$f(x)=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

s'écrit, compte tenu de la factorisation de la question précédente :

$\frac{5}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

En multipliant tous les termes par (x-2), on obtient :

$\frac{5}{(x+3)}=a+\frac{b(x-2)}{x+3}$

Et en remplaçant x par 2, on obtient :

$\frac{5}{(2+3)}=a+\frac{b(2-2)}{2+3}$

Soit a = 1

Toujours à partir de :

$\frac{5}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

en multipliant tous les termes par (x+3), on obtient :

$\frac{5}{(x-2)}=\frac{a(x+3)}{x-2}+b$

et en remplaçant x par -3, on obtient :

$\frac{5}{(-3-2)}=\frac{a(-3+3)}{-3-2}+b$

Soit b = -1

Vérification (nécessaire car les conditions trouvées a = 1 et b = -1 sont seulement nécessaires mais on ne sait pas encore si elles sont suffisantes) :

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}=\frac{x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}=\frac{5}{x^2+x-6}=f(x)$

Troisième méthode

$\begin{array}{cc}f(x)& =\frac{5}{x^2+x-6}\\ & =\frac{5}{(x-2)(x+3)}\\ & =\frac{x+3-x+2}{(x-2)(x+3)}\\ & =\frac{x+3}{(x-2)(x+3)}-\frac{x-2}{(x-2)(x+3)}\\ & =\frac{1}{(x-2)}-\frac{1}{(x+3)}\end{array}$

3. Nous allons mettre à profit la décomposition trouvée précédemment :

$f(x)=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}$

En effet, on sait calculer les primitives des fonctions de la forme u'/u (ce sont des logarithmes ln u). Dans notre cas, si on pose :

$u_1=(x-2)$

$u_2=(x+3)$

En dérivant :

$u{\text{'}}_1=1$

$u{\text{'}}_2=1$

Par conséquent :

$\frac{u{\text{'}}_1}{u_1}=\frac{1}{x-2}$

$\frac{u{\text{'}}_2}{u_2}=\frac{1}{x+3}$

Et on peut réécrire ƒ sous la forme :

$f(x)=\frac{u{\text{'}}_1}{u_1}-\frac{u{\text{'}}_2}{u_2}$

On peut alors facilement trouver que les primitives de ƒ sont les fonctions :

$F(x)=\ln (x-2)-\ln (x+3)+K$

où K est une constante.