En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Espaces affines euclidiens Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On se place dans un plan affine euclidien. Soit un cercle, de centre et de rayon . On rappelle qu'une droite passant par un point de est tangente à si et seulement si est perpendiculaire à .
a) Soit une droite passant par un point du plan et coupant en un point . Montrer que est tangente à si et seulement si le point est sur l'intersection de avec le cercle de diamètre . En déduire le nombre de tangente(s) à passant par , selon la position de par rapport à .
b) Soient un réel non nul et une dilatation de rapport (c'est-à-dire une application affine telle que , autrement dit une homothétie si ou une translation si ). Montrer que est le cercle de centre et de rayon .
c) Soit un cercle distinct de , de centre et de rayon . Montrer qu'il existe exactement deux dilatations et (de rapports respectifs et ) qui envoient sur . Préciser leur centre (dans le cas d'une homothétie) ou vecteur (dans le cas d'une translation).
d) Soit une tangente à . Montrer que et sont exactement les deux tangentes à parallèles à . En déduire la condition sur (en termes de centre d'homothétie ou vecteur de translation vus précédemment) pour que soit tangente à .
e) En déduire (suivant les positions respectives de ) le nombre de tangentes communes à ces deux cercles.
Solution
a) est tangente à si et seulement si donc si et seulement si appartient au cercle de diamètre . Les tangentes à passant par sont donc les droites quand parcourt l'intersection de avec ce cercle. Si est intérieur à , cette intersection est vide (il n'y a aucune tangente à issue de ) ; si est sur , cette intersection est réduite à (et il y a une tangente : la tangente en à ) ; si est extérieur à , cette intersection est une paire (il y a deux tangentes à issues de , orthogonalement symétriques par rapport à ).
b) donc , c'est-à-dire .
c) D'après b), une telle dilatation avoir un rapport tel que , c'est-à-dire , et doit de plus envoyer sur , ce qui complète sa détermination. Le seul cas où c'est une translation est dans le cas , et le vecteur est alors . Dans les autres cas, le centre de est donné par
, c'est-à-dire . De même (dans tous les cas) le centre de est donné par , c'est-à-dire .
d) (On utilise deux fois que toute dilatation transforme une droite en une droite parallèle). Si est tangente à en , est une droite passant par et parallèle à donc perpendiculaire à , et est parallèle à , donc est perpendiculaire à , donc est tangente à en . Idem pour . De plus, car . Donc les deux tangentes à parallèles à sont exactement et . Or est tangente à si et seulement si elle est égale à l'une de ces deux tangentes. Donc est tangente à si et seulement si elle est (globalement) invariante par ou par (et ces deux cas s'excluent mutuellement puisque ), donc si et seulement si elle passe par soit , soit par (dans le cas particulier , il faut remplacer la condition « passe par » par « est parallèle à »).
e) D'après la question a), pour trouver le nombre de tangentes communes à (c'est-à-dire le nombre de tangentes à vérifiant la condition ci-dessus), il faut (dans le cas général ) étudier à la fois la position de et par rapport à . Or donc est extérieur à si et seulement si et sont strictement extérieurs l'un à l'autre (et si et seulement si et sont tangents extérieurement, et est intérieur à si et seulement si et sont sécants ou intérieur l'un à l'autre, avec tangence éventuelle). De même, donc est extérieur à si et seulement si et sont sécants ou extérieur l'un à l'autre, avec tangence éventuelle (et si et seulement si et sont tangents intérieurement, et est intérieur à si et seulement si l'un des deux cercles est strictement intérieur à l'autre).
En conclusion (si ), le nombre de tangentes communes à et est donc :
s'ils sont strictement extérieurs l'un à l'autre ;
s'ils sont tangents extérieurement ;
s'ils sont sécants ;
s'ils sont tangents intérieurement ;
si l'un est strictement intérieur à l'autre.
Dans le cas particulier , l'étude de la position de est remplacée par : a toujours deux tangentes parallèles à . Le nombre de tangentes communes à est alors :
si et sont strictement extérieurs l'un à l'autre ;
On se place dans un plan affine euclidien . Soient trois cercles de centres non alignés et de rayons non nuls. La puissance par rapport à d'un point du plan est par définition .
L'axe radical de et est par définition l'ensemble des points tels que (on va démontrer dans a) et b) que c'est une droite).
a) En notant et en considérant l'application , montrer que est non vide.
b) Pour tout , montrer que est la perpendiculaire à passant par .
c) Montrer que les trois droites sont concourantes.
d) On suppose désormais que sont sécants deux à deux et l'on note la droite joignant les deux points de , celle joignant les deux points de et celle joignant les deux points de . Déduire de c) que ces trois droites sont concourantes.
e) On veut redémontrer d) par une autre méthode. On plonge pour cela le plan dans un espace affine euclidien de dimension , et l'on suppose par exemple . On choisit deux sphères de de rayon dont les intersections avec soient , on note leurs centres respectifs, et l'on note les plans médiateurs respectifs de . Démontrer que ces trois plans ont une droite commune et intersectent suivant les droites . Conclure.
Solution
a) s'annule pour une (unique) valeur de .
b) On a (et de même en remplaçant par et par ), et , donc .
c) et sont sécantes (car perpendiculaires respectivement à et , qui sont sécantes car non alignés). Soit leur point d'intersection, on a donc .
d) Les deux points de ont même puissance (nulle) par rapport à et , donc appartiennent à , donc . Raisonnement analogue pour .
e) Remarquons d'abord que sont non alignés (comme leurs projetés orthogonaux sur , ), donc sont non parallèles (car perpendiculaires respectivement à qui sont sécantes). Soit donc la droite . Tout point de est équidistant de et , et équidistant de et , donc équidistant de et , donc .
n'est pas parallèle à (car sa normale n'est pas perpendiculaire à , car les projetés orthogonaux de et sur , et , sont distincts), donc est une droite.
Les deux points de sont à même distance () de et , donc appartiennent à , donc à la droite , donc . De même, et .
La droite commune à est non parallèle à , car est orthogonale au plan qui n'est pas perpendiculaire à (car le projeté orthogonal sur d'un vecteur non nul de la forme est ). Donc coupe en un point . D'après ce qui précède, appartient à .