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Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens

Leçons de niveau 15
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Espaces affines euclidiens
Image logo représentative de la faculté
Exercices no5
Leçon : Géométrie affine

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Thalès, Ménélaüs, Ceva et Desargues
Exo suiv. :Sommaire
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Géométrie affine/Exercices/Espaces affines euclidiens
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



On se place dans un plan affine euclidien. Soit un cercle, de centre et de rayon . On rappelle qu'une droite passant par un point de est tangente à si et seulement si est perpendiculaire à .

a) Soit une droite passant par un point du plan et coupant en un point . Montrer que est tangente à si et seulement si le point est sur l'intersection de avec le cercle de diamètre . En déduire le nombre de tangente(s) à passant par , selon la position de par rapport à .

b) Soient un réel non nul et une dilatation de rapport (c'est-à-dire une application affine telle que , autrement dit une homothétie si ou une translation si ). Montrer que est le cercle de centre et de rayon .

c) Soit un cercle distinct de , de centre et de rayon . Montrer qu'il existe exactement deux dilatations et (de rapports respectifs et ) qui envoient sur . Préciser leur centre (dans le cas d'une homothétie) ou vecteur (dans le cas d'une translation).

d) Soit une tangente à . Montrer que et sont exactement les deux tangentes à parallèles à . En déduire la condition sur (en termes de centre d'homothétie ou vecteur de translation vus précédemment) pour que soit tangente à .

e) En déduire (suivant les positions respectives de ) le nombre de tangentes communes à ces deux cercles.

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Puissance d'un point par rapport à un cercle ».

On se place dans un plan affine euclidien . Soient trois cercles de centres non alignés et de rayons non nuls. La puissance par rapport à d'un point du plan est par définition . L'axe radical de et est par définition l'ensemble des points tels que (on va démontrer dans a) et b) que c'est une droite).

a) En notant et en considérant l'application , montrer que est non vide.

b) Pour tout , montrer que est la perpendiculaire à passant par .

c) Montrer que les trois droites sont concourantes.

d) On suppose désormais que sont sécants deux à deux et l'on note la droite joignant les deux points de , celle joignant les deux points de et celle joignant les deux points de . Déduire de c) que ces trois droites sont concourantes.

e) On veut redémontrer d) par une autre méthode. On plonge pour cela le plan dans un espace affine euclidien de dimension , et l'on suppose par exemple . On choisit deux sphères de de rayon dont les intersections avec soient , on note leurs centres respectifs, et l'on note les plans médiateurs respectifs de . Démontrer que ces trois plans ont une droite commune et intersectent suivant les droites . Conclure.