Formule du crible/Exercices/sur les rencontres du second type

Lors des festivités après un mariage, on fait venir cinq couples mariés sur la piste de danse. Les couples sont séparés. Après leur avoir bandé les yeux, on leur demande de se regrouper par deux au hasard, deux hommes ou deux femmes pouvant se retrouver ensemble. Quelle est la probabilité que, parmi les couples reformés, deux soit des couples légitimes ?

Solution

Il s'agit d'un problème de rencontre du second type puisque les dix personnes présentes sur la piste de danse sont appariées par le fait d’être mariées. Elles sont regroupées au hasard deux par deux. C'est comme si l’on avait mis les dix personnes dans une urne, que l’on avait disposé cinq boîtes à côté de l'urne, que l’on avait tiré les personnes de l'urne au hasard en les mettant dans les boîtes, toujours au hasard, à raison de deux par boîte et que l’on demande la probabilité d’avoir après dans deux boîtes, un couple marié.

Nous utiliserons donc la formule pour les rencontres du second type en remplaçant r par 2 et n par 5 :

${\begin{aligned}{\frac {2^{r}}{r!{2n \choose n}}}\times \sum _{k=0}^{n-r}\left({\frac {(-2)^{k}}{k!}}\times {2n-2r-2k \choose n-r-k}\right)&={\frac {2^{2}}{2!{2\times 5 \choose 5}}}\times \sum _{k=0}^{5-2}\left({\frac {(-2)^{k}}{k!}}\times {2\times 5-2\times 2-2k \choose 5-2-k}\right)\\&={\frac {4}{2{10 \choose 5}}}\times \sum _{k=0}^{3}\left({\frac {(-2)^{k}}{k!}}\times {6-2k \choose 3-k}\right)\\&={\frac {1}{126}}\sum _{k=0}^{3}\left({\frac {(-2)^{k}}{k!}}\times {\frac {(6-2k)!}{(3-k)!(3-k)!}}\right)\\&={\frac {1}{126}}\times {\frac {32}{3}}\\&={\frac {16}{189}}.\end{aligned}}$