Leçons de niveau 15

Formule du crible/Rencontre du second type

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Rencontre du second type
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Chapitre no 6
Leçon : Formule du crible
Chap. préc. :Dénombrement des dérangements
Chap. suiv. :Rencontre du troisième type

Exercices :

sur les rencontres du second type
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Formule du crible/Rencontre du second type
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Les permutations peuvent se classer dans les rencontres du premier type.

Dans ce chapitre, nous allons étudier les rencontres du second type que l’on peut modéliser de la façon suivante :

Soit une urne contenant 2n boules. Deux boules portent le numéro 1. deux autres portent le numéro 2. deux autres portent le numéro 3. Et ainsi de suite…

À côté de l’urne se trouvent n boîtes numérotées de 1 à n.

On tire les boules sans remise en mettant les deux premières dans la première boîte. Les deux suivantes dans la deuxième boîte. Et ainsi de suite jusqu'à ce qu’il y ait deux boules par boîte.

(Dans une rencontre du premier type, on n'aurait mis qu’une boule par boîte).

On dira qu’il y a une rencontre dans la boîte numéro i si les deux boules de cette boîte portent le même numéro.

Soit Ai, l’événement : Il y a une rencontre dans la boîte numéro i.

Ai ∩ Aj représentera alors l’événement : Il y a une rencontre dans la boîte i et une rencontre dans la boîte j.

Ai ∪ Aj représentera l’événement : Il y a une rencontre dans au moins une des deux boîtes i ou j.

Soit Xn la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de rencontres total après avoir effectué les tirages.

On a :

Calculons :

Une boule étant mise dans la boîte numéro i, la probabilité que la seconde boule arrivant dans cette boîte ait le même numéro sera :

D’après la formule des probabilités composées, on aura :

plus généralement, à l’aide de la formule des probabilités composées on obtient :

En poursuivant alors le calcul de p(Xn ≥ 1), on obtient :

On en déduit :

Nous venons de calculer la probabilité qu’il n'y ait aucune rencontre.

Calculons maintenant p(Xn = r).

Pour cela, il faut :

  • choisir le r boîtes où auront lieu les rencontres : possibilités ;
  • calculer la probabilité qu’il y ait rencontre dans ces r boîtes :
     ;
  • calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de rencontre dans les n-r autres boîtes : p(Xn-r = 0).

On aura donc :


Nous avons donc le théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème