Formule du crible/Exercices/sur les rencontres du troisième type

Dans une cour de récréation, 18 enfants jouent en formant 6 rondes composées de 3 enfants. Ils sont interrompus par un goûter à la fin duquel ils se regroupent au hasard pour former à nouveau 6 rondes de 3 enfants. Quelle est la probabilité que, parmi les 6 rondes reformées, il y en ait deux composées des mêmes enfants qu’avant interruption ?

Solution

Il s’agit d’un problème de rencontre du troisième type. Appliquons donc la formule sur les rencontres du troisième type en prenant n = 6 et r = 2. On obtient :

${\begin{aligned}{\frac {(3!)^{r}}{r!}}\times {\frac {n!^{2}}{(3n)!}}\times \sum _{k=0}^{n-r}\left({\frac {(-3!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(3n-3r-3k)!}{(n-r-k)!^{2}}}\right)&={\frac {(3!)^{2}}{2!}}\times {\frac {6!^{2}}{(3\times 6)!}}\times \sum _{k=0}^{6-2}\left({\frac {(-3!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(3\times 6-3\times 2-3k)!}{(6-2-k)!^{2}}}\right)\\&={\frac {6^{2}}{2}}\times {\frac {6!^{2}}{18!}}\times \sum _{k=0}^{4}\left({\frac {(-6)^{k}}{k!}}\times {\frac {(12-3k)!}{(4-k)!^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{686125440}}\sum _{k=0}^{4}\left({\frac {(-6)^{k}}{k!}}\times {\frac {(12-3k)!}{(4-k)!^{2}}}\right)\\&={\frac {43011}{38118080}}\\&\approx 0{,}00113.\end{aligned}}$