Formule du crible/Exercices/Application de la formule du crible

Exercice 1-1

Soit n urnes numérotées de 1 à n. Dans chaque urne se trouvent p boules numérotées de 1 à p. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Soit (X_k)_{k∈〚1;n〛} un vecteur aléatoire donc chaque composante X_k indique le numéro de la boule tirée dans l’urne numéro k. Soit maintenant Y la variable aléatoire réelle définie par :

$Y=\min _{k\in [\![1;n]\!]}(X_{k})$

1. Donner la fonction de répartition de Y.
2. En déduire la loi de Y.

Solution

1. (Y ≤ i) est réalisé si l’une des variables aléatoires X_k au moins prend une valeur inférieure ou égale à i. Par conséquent :

$(Y\leq i)=\bigcup _{k=1}^{n}(X_{k}\leq i)$

et par conséquent :

$p(Y\leq i)=p\left(\bigcup _{k=1}^{n}(X_{k}\leq i)\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}p\left(\bigcap _{j=1}^{k}X_{i_{j}}\leq i\right)\right)$

${p\left(\bigcap _{j=1}^{k}X_{i_{j}}\leq i\right)}$ représente la probabilité que les boules tirées dans les k urnes numérotés i_j aient toutes un numéro inférieur à i. Ces événements étant indépendants et la probabilité que la boule tirée dans une urne ait un numéro inférieur ou égal à i étant i/p, on a :

$p\left(\bigcap _{j=1}^{k}X_{i_{j}}\leq i\right)=\left({\frac {i}{p}}\right)^{k}$

et en reportant :

${\begin{aligned}p(Y\leq i)&=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\left({\frac {i}{p}}\right)^{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{n \choose k}\left({\frac {i}{p}}\right)^{k}\\&=-\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}\left(-{\frac {i}{p}}\right)^{k}\\&=1-\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left(-{\frac {i}{p}}\right)^{k}\\&=1-\left(1-{\frac {i}{p}}\right)^{n}\qquad \qquad {\text{d'après la formule du binôme.}}\end{aligned}}$

2. On a :

${\begin{aligned}p(Y=i)&=p(Y\leq i)-p(Y\leq i-1)=\left(1-\left(1-{\frac {i}{p}}\right)^{n}\right)-\left(1-\left(1-{\frac {i-1}{p}}\right)^{n}\right)\\&=\left(1-{\frac {i-1}{p}}\right)^{n}-\left(1-{\frac {i}{p}}\right)^{n}.\end{aligned}}$

Remarque

Faites ces exercices : Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi uniforme.

Il aurait été bien plus simple de calculer p(Y ≤ i) en passant par l’événement contraire. En effet, on a :

$p(Y\leq i)=1-p(Y>i)=1-p\left(\bigcap _{k=1}^{n}(X_{k}>i)\right)$

et comme les événements (X_k > i) sont indépendants, on trouve immédiatement :

$p(Y\leq i)=1-\left({\frac {p-i}{p}}\right)^{n}=1-\left(1-{\frac {i}{p}}\right)^{n}$.

L’objet de cette leçon étant d’étudier la formule du crible, nous avons privilégié un calcul qui l'utilise. Toutefois, il est intéressant de remarquer que la formule du crible présente un certain complémentarisme vis-à-vis de la formule des probabilités composées puisque :

$p\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=1-p\left(\bigcap _{i=1}^{n}{\overline {A_{i}}}\right)$

Et effectivement, selon les problèmes, on peut être amené à choisir entre la formule du crible et la formule des probabilités composées selon que l’une ou l’autre des deux méthodes est plus simple à mettre en œuvre que l’autre.

 

Exercice 1-2

Dans cette cantine, 135 plateaux-repas sont servis. Trois éléments peuvent composer un plateau-repas : entrée, plat principal et dessert et tout plateau comporte soit l'un de ces éléments, soit deux éléments distincts, soit les 3 éléments.

On a dénombré :

• 79 plateaux contenant (au moins) une entrée ;
• 97 plateaux contenant un plat principal ;
• 59 plateaux contenant un dessert ;
• 51 plateaux contenant une entrée et un plat principal ;
• 44 plateaux contenant un plat principal et un dessert ;
• 36 plateaux contenant une entrée, un plat principal et un dessert.

1. Combien de plateaux contenant une entrée et un dessert ont été servis ?
2. Combien de plateaux contenant une entrée et un dessert et ne contenant pas de plat principal ont été servis ?

Solution

Les données sont :

$|E\cup P\cup D|=135,\,|E|=79,\,|P|=97,\,|D|=59,\,|E\cap P|=51,\,|P\cap D|=44,\,|E\cap P\cap D|=36$.

1. $135=79+97+59-\left(51+44+|E\cap D|\right)+36=176-|E\cap D|$ donc $|E\cap D|=41$.
2. $41-36=5$.

 

Exercice 1-3

1. Soient $N,d\in \mathbb {N} ^{*}$. Quel est le nombre d'entiers (strictement positifs) inférieurs ou égaux à $N$ qui sont des multiples de $d$ ?
2. Dans l'ensemble $\{1,2,\dots ,1000\}$, on enlève tous les multiples de $2$, $3$, $5$ et $7$. Quel est le cardinal de l'ensemble obtenu ?
3. Toujours dans $\{1,2,\dots ,1000\}$, quel est le cardinal de l'ensemble obtenu une fois qu'on a enlevé tous les multiples de $8$, $12$ et $15$ ?

Solution

1. $\left|\{k\in \mathbb {N} ^{*}\mid kd\leq N\}\right|=\left\lfloor N/d\right\rfloor$
2. Notons $n_{d}:=\left\lfloor 1000/d\right\rfloor$. Le cardinal cherché est

   $n_{1}-(n_{2}+n_{3}+n_{5}+n_{7})+(n_{6}+n_{10}+n_{14}+n_{15}+n_{21}+n_{35})-(n_{30}+n_{42}+n_{70}+n_{105})+n_{210}$.

   $=1000-(500+333+200+142)+(166+100+71+66+47+28)-(33+23+14+9)+4=228$

3. $n_{1}-(n_{8}+n_{12}+n_{15})+(n_{24}+{\cancel {n_{120}}}+n_{60})-{\cancel {n_{120}}}$

   $=1000-(125+83+66)+(41+16)=783$.

 

Exercice 1-4

Soient $A,B,C,D$ quatre ensembles tels que $|A|=18$, $|B|=23$, $|C|=21$, $|D|=17$, $|A\cap B|=9$, $|A\cap C|=7$, $|A\cap D|=6$, $|B\cap C|=12$, $|B\cap D|=9$, $|C\cap D|=12$, $|A\cap B\cap C|=4$, $|A\cap B\cap D|=3$, $|A\cap C\cap D|=5$, $|B\cap C\cap D|=7$ et $|A\cap B\cap C\cap D|=3$. Quel est le cardinal de $A\cup B\cup C\cup D$ ?

Solution

$18+23+21+17-9-7-6-12-9-12+4+3+5+7-3=40$.