Leçons de niveau 15

Formule du crible/Exercices/Application de la formule du crible

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Application de la formule du crible
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Exercices no1
Leçon : Formule du crible
Chapitre du cours : Exemple d'application

Ces exercices sont de niveau 15.

Exo préc. : Sommaire
Exo suiv. : sur le dénombrement des surjections
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Formule du crible/Exercices/Application de la formule du crible
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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

Soit n urnes numérotées de 1 à n. Dans chaque urne se trouvent p boules numérotées de 1 à p. On tire une boule au hasard dans chaque urne. Soit (Xk)k∈〚1;n〛 un vecteur aléatoire donc chaque composante Xk indique le numéro de la boule tirée dans l’urne numéro k. Soit maintenant Y la variable aléatoire réelle définie par :

  1. Donner la fonction de répartition de Y.
  2. En déduire la loi de Y.

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Dans cette cantine, 135 plateaux-repas sont servis. Trois éléments peuvent composer un plateau-repas : entrée, plat principal et dessert et tout plateau comporte soit l'un de ces éléments, soit deux éléments distincts, soit les 3 éléments.

On a dénombré :

  • 79 plateaux contenant (au moins) une entrée ;
  • 97 plateaux contenant un plat principal ;
  • 59 plateaux contenant un dessert ;
  • 51 plateaux contenant une entrée et un plat principal ;
  • 44 plateaux contenant un plat principal et un dessert ;
  • 36 plateaux contenant une entrée, un plat principal et un dessert.
  1. Combien de plateaux contenant une entrée et un dessert ont été servis ?
  2. Combien de plateaux contenant une entrée et un dessert et ne contenant pas de plat principal ont été servis ?

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient . Quel est le nombre d'entiers (strictement positifs) inférieurs ou égaux à qui sont des multiples de  ?
  2. Dans l'ensemble , on enlève tous les multiples de , , et . Quel est le cardinal de l'ensemble obtenu ?
  3. Toujours dans , quel est le cardinal de l'ensemble obtenu une fois qu'on a enlevé tous les multiples de , et  ?