Formule d'inversion de Pascal/Démonstration par calcul matriciel

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Redémontrons par calcul matriciel le théorème du chapitre précédent :

Début d’un théorème

Formule d'inversion de Pascal

Soient $u_{0},\dots ,u_{N},v_{0},\dots ,v_{N}\in G$ où $\left(G,+\right)$ est un groupe abélien (par exemple $G=\mathbb {R}$), nous avons :

$\left(\forall n\leq N\quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}v_{k}\right)\Leftrightarrow \left(\forall n\leq N\quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}u_{k}\right)$.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Supposons que :

$\forall n\leq N\quad u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}v_{k}$,

ce qui peut se traduire en calcul matriciel par :

${\begin{pmatrix}{0 \choose 0}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\{1 \choose 0}&{1 \choose 1}&0&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\ddots &\vdots \\{N-1 \choose 0}&&&&{N-1 \choose N-1}&0\\{\binom {N}{0}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\binom {N}{N}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\u_{N}\end{pmatrix}}$.

Il nous suffit d'inverser la matrice du premier membre pour trouver $v_{0},\dots ,v_{N}$ en fonction de $u_{0},\dots ,u_{N}$.

Pour cela, mettons-nous dans une situation générique qui rend cette inversion évidente.

En remarquant que :

$\forall n\leq N\quad X^{n}=(X-1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(X-1)^{k}$,

nous pouvons écrire :

${\begin{pmatrix}{0 \choose 0}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\{1 \choose 0}&{1 \choose 1}&0&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\ddots &\vdots \\{N-1 \choose 0}&&&&{N-1 \choose N-1}&0\\{\binom {N}{0}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &{\binom {N}{N}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}(X-1)^{0}\\(X-1)^{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\(X-1)^{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X^{0}\\X^{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\X^{N}\end{pmatrix}}$.

Mais comme, d’autre part, on a :

$\forall n\leq N\quad (X-1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}X^{k}(-1)^{n-k}$,

nous en déduisons :

${\begin{pmatrix}(X-1)^{0}\\(X-1)^{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\(X-1)^{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)^{0}{0 \choose 0}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\(-1)^{1}{1 \choose 0}&(-1)^{0}{1 \choose 1}&0&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\ddots &\vdots \\(-1)^{N-1}{N-1 \choose 0}&&&&(-1)^{0}{N-1 \choose N-1}&0\\(-1)^{N}{\binom {N}{0}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &(-1)^{0}{\binom {N}{N}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X^{0}\\X^{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\X^{N}\end{pmatrix}}$.

Comme les polynômes $1,X,\dots ,X^{N}\in \mathbb {Q} [X]$ sont linéairement indépendants, ceci prouve que la matrice de départ est inversible à droite (donc aussi à gauche, puisque c'est une matrice carrée), et fournit son inverse.

En revenant aux suites u_n et v_n, nous obtenons :

${\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)^{0}{0 \choose 0}&0&\cdots &\cdots &\cdots &0\\(-1)^{1}{1 \choose 0}&(-1)^{0}{1 \choose 1}&0&&&\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\ddots &\vdots \\(-1)^{N-1}{N-1 \choose 0}&&&&(-1)^{0}{N-1 \choose N-1}&0\\(-1)^{N}{\binom {N}{0}}&\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &(-1)^{0}{\binom {N}{N}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\\vdots \\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}$,

ce qui montre que notre hypothèse de départ est bien équivalente à :

$\forall n\leq N\quad v_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}u_{k}$.

Fin de la démonstration