Leçons de niveau 13

Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires

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Propriétés préliminaires
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions trigonométriques
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Étude de la fonction sinus

Exercices :

Calcul de limites
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Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires
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Ce chapitre est destiné à étudier des propriétés qui nous seront utiles pour calculer des limites faisant intervenir des fonctions trigonométriques. La propriété 1 de ce chapitre est souvent admise dans des cours similaires. Nous avons toutefois choisi de la déduire de lemmes qui nous semblent plus intuitifs à admettre que la propriété 1.

Considérations sur les arcs de cercle[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons tout d'abord le lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme

Nous admettrons ce lemme très intuitif, qui découle du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.


Nous retiendrons ensuite le lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme

Nous admettrons aussi ce lemme, difficile à démontrer bien qu'assez intuitif.

Continuité de la fonction sinus[modifier | modifier le wikicode]


Nous montrerons la continuité de la fonction sinus grâce au lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme

Montrons que la fonction sinus est continue en une valeur quelconque de son domaine de définition qui est .

De l'une des formules de Simpson :

,

on déduit, grâce au lemme 3 :

,

d'où il découle, d'après le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

,

autrement dit :

,

ce qui montre que la fonction sinus est bien continue en .

Continuité de la fonction cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Nous invitons le lecteur, à titre d'entraînement, à faire une démonstration similaire à celle de la fonction sinus en utilisant une autre formule de Simpson :

.

Quant à nous, nous nous contenterons de remarquer que :

,

qui nous montre que la continuité de la fonction cosinus découle directement, par composition de fonctions continues, de la continuité de la fonction sinus.

Continuité de la fonction tangente[modifier | modifier le wikicode]

Comme :

,

la fonction tangente est continue comme quotient de deux fonctions continues.

Propriétés sur les limites[modifier | modifier le wikicode]

La propriété 1 ci-dessous est assez fondamentale et permet d'établir un grand nombre de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous verrons en particulier que grâce à celle-ci, nous pourrons calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus.


Pour démontrer cette propriété, nous utiliserons le lemme 3 et le lemme suivant :

Début d'un lemme


Fin du lemme

Les lemmes 3 et 4 nous donnent deux inégalités qui peuvent se réunir en un encadrement :

.

La fonction cosinus étant continue en , nous avons :

.

Par conséquent, en faisant tendre vers dans les trois membres de , nous obtenons en utilisant le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

.


La propriété suivante se déduit de la propriété 1 mais est aussi importante pour faciliter l'établissement de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques.