Leçons de niveau 12

Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires

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Propriétés préliminaires
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Chapitre no 2
Leçon : Fonctions trigonométriques
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Étude de la fonction sinus

Exercices :

Calcul de limites
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Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires
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Ce chapitre est destiné à étudier des propriétés qui nous seront utiles pour calculer des limites faisant intervenir des fonctions trigonométriques. La propriété 1 de ce chapitre est souvent admise dans des cours similaires. Nous avons toutefois choisi de la déduire de lemmes qui nous semblent plus intuitifs à admettre que la propriété 1.

Considérations sur les arcs de cercle[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons tout d'abord le lemme suivant :


Début d'un lemme


Fin du lemme


Nous admettrons ce lemme très intuitif qui découle du fait bien connu que la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.


Nous retiendrons ensuite le lemme suivant :


Début d'un lemme


Fin du lemme


Nous admettrons aussi ce lemme difficile à démontrer tout en étant toutefois assez intuitif.


Continuité de la fonction sinus[modifier | modifier le wikicode]



Nous commencerons par montrer la continuité de la fonction sinus en .

Considérons un arc A⁀M du cercle trigonométrique dont la mesure en radians est avec :

et soit , le symétrique de par rapport à l'axe des abscisses.

Démosin1.png

Si est négatif, on visualisera que les points et sont inversés sur la figure.

Dans les deux cas de figure nous voyons que la longueur de l'arc A⁀M est et la longueur du segment est .

D'après le lemme 1, la longueur de la corde est inférieure à la longueur de l'arc N⁀M, ce qui nous donne, pour raison de symétrie :

Soit en simplifiant :



De cette relation, nous déduisons immédiatement :

Ce qui montre que la fonction sinus est continue en .


Montrons maintenant que la fonction sinus est continue en une valeur quelconque de son domaine de définition qui est .

De la formule trigonométrique bien connue :

Nous déduisons en posant et  :

En prenant les valeurs absolues des deux membres, nous obtenons :

Comme

Nous obtenons :

La continuité en de la fonction sinus nous donne :

d'où il découle d'après le théorème de l'encadrement (théorème des gendarmes) :

d'où l'on déduit :

qui montre que la fonction sinus est bien continue en .


Continuité de la fonction cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Nous invitons le lecteur, à titre d'entraînement, à faire une démonstration similaire à celle de la fonction sinus en utilisant cette fois la formule bien connue :

quant à nous, nous nous contenterons de remarquer que :

qui nous montre que la continuité de la fonction cosinus découle directement, par composition de fonctions continues, de la continuité de la fonction sinus


Continuité de la fonction tangente[modifier | modifier le wikicode]

Comme :

la fonction tangente est continue comme quotient de deux fonctions continues.


Propriétés sur les limites[modifier | modifier le wikicode]

La propriété 1 ci-dessous est assez fondamentale et permet d'établir un grand nombre de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques. Nous verrons en particulier que grâce à celle-ci, nous pourrons calculer la dérivée des fonctions sinus et cosinus.




La propriété suivante se déduit de la propriété précédente mais est aussi importante pour faciliter l'établissement de limites d'expressions contenant des fonctions trigonométriques.