Fonctions trigonométriques/Étude de la fonction tangente

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Dans ce chapitre, nous allons étudier la fonction tangente en détail de façon à pouvoir préciser son tracé. Le point important de ce chapitre est l'établissement de la dérivée de la fonction tangente dont il conviendra de bien retenir le résultat.

Établissement du domaine d'étude

Les chapitres précédents nous ont déjà appris que la fonction tangente est définie sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$ et qu'elle est continue.

Rappelons qu'une fonction $f$ est périodique et de période $T$ si :

$\forall x\in \mathbb {R} \qquad f(x+T)=f(x)$.

Nous avons comme dans les chapitres précédents :

$\tan(x+2\pi )=\tan x$

autrement dit : la fonction tangente est périodique de période $2\pi$.

Mais nous avons mieux que cela ! En effet, nous remarquons que :

$\tan(x+\pi )={\frac {\sin(x+\pi )}{\cos(x+\pi )}}={\frac {-\sin x}{-\cos x}}={\frac {\sin x}{\cos x}}=\tan x$.

Nous pouvons donc étudier la fonction tangente sur un intervalle de largeur $\pi$.

Nous pourrions, par exemple, prendre le domaine $[0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}\right\}$.

Mais ce choix n'est pas très astucieux, pourquoi ?

Tout simplement parce la fonction tangente vérifie la relation :

$\tan(-x)=-\tan x$,

qui nous montre que la fonction tangente est impaire, c'est-à-dire que sa courbe admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Par conséquent, au lieu de choisir $[0,\pi ]\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}\right\}$ comme domaine d'étude, nous choisirons plutôt l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, que nous couperons ensuite en deux pour exploiter l'imparité de la fonction tangente.

Il nous restera donc, comme intervalle d'étude, seulement l'intervalle $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$.

En résumé, nous commencerons par étudier le tracé de la fonction tangente dans l'intervalle $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$. En considérant la symétrie par rapport à l'origine, nous en déduirons le tracé dans l'intervalle $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$. En considérant ensuite la périodicité, nous en déduirons la totalité du tracé sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$.

Dérivée de la fonction tangente

Rappelons que le sens de variation d'une fonction est obtenu simplement par l'étude du signe de sa dérivée : la fonction est croissante si sa dérivée est positive et décroissante si sa dérivée est négative.

Début d’un théorème

Dérivée de la fonction tangente (première version)

La fonction $\tan$ est dérivable sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$ et sa dérivée est :

$\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}$.

Fin du théorème

Démonstration

Nous pourrions obtenir rapidement la dérivée de la fonction tangente en dérivant simplement le rapport ${\frac {\sin x}{\cos x}}$ (nous invitons le lecteur à le faire), mais nous avons préféré faire comme si l'on ne connaissait pas encore les dérivées des fonctions sinus et cosinus.

La définition générale de la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est :

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Appliquons-la à $f=\tan$. En utilisant l'une des formules de Simpson :

$\tan a-\tan b={\frac {\sin(a-b)}{\cos a\cos b}}$,

nous obtenons :

${\frac {\tan(x+h)-\tan x}{h}}={\frac {\sin h}{h\cos(x+h)\cos x}}={\frac {\sin h}{h}}\times {\frac {1}{\cos(x+h)\cos x}}$.

Par continuité de la fonction cosinus, et d'après la propriété 1 du chapitre 2, nous en déduisons :

$\tan 'x=1\times {\frac {1}{\cos(x+0)\cos x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$.

 

Nous remarquons que :

$\tan '(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$.

Nous avons donc aussi :

Début d’un théorème

Dérivée de la fonction tangente (deuxième version)

La dérivée de $\tan$ est :

$\tan '=1+\tan ^{2}$.

Fin du théorème

Sens de variation de la fonction tangente

Au paragraphe précédent, nous avons calculé la dérivée de la fonction tangente : $\tan '={\frac {1}{\cos ^{2}}}$. Cette dérivée est donc positive et la fonction tangente est donc croissante sur $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right[$. Nous pouvons résumer cela dans le tableau de variations :

${\begin{array}{c|ccc|}x&0&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline \tan 'x&&+&\\\hline &&&+\infty \\\tan x&&\nearrow &\\&0&&\\\hline \end{array}}$

Compte tenu de la symétrie par rapport à l'origine et de la périodicité, nous en déduisons la courbe représentative de la fonction tangente, que l'on peut représenter ainsi :

le tracé se prolongeant indéfiniment sur $\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {\pi }{2}}+k\pi \;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$.