Fonctions trigonométriques/Fonctions formées de fonctions trigonométriques

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Ce chapitre, consacré au tracé et à l'étude de fonctions dont l'expression contient des fonctions trigonométriques, peut être considéré comme un prolongement de la leçon « Étude et tracé d'une fonction », que l'on considère comme assimilée. Le seul point qui nous reste à étudier est donc la réduction du domaine d'étude. Nous traiterons ensuite un exemple en détail pour finir de bien assimiler l'étude de ce type de fonctions.

Réduction du domaine d'étude

Nous avons déjà abordé le thème de ce paragraphe dans les chapitres précédents. Nous y revenons ici de façon plus approfondie. La particularité principale des fonctions trigonométriques est qu'elles ont de fortes chances d'être périodiques. C'est-à-dire qu'il existe un nombre $T$ tel que :

$f(x+T)=f(x)$,

$f$ étant la fonction à étudier.

Une fois la période parfaitement déterminée, il nous faut choisir un intervalle de largeur $T$ sur lequel notre étude sera a priori faite. Il ne serait pas très malin de choisir cet intervalle au hasard ou démarrant systématiquement à l'abscisse $0$ (par exemple $[0,T]$). La raison en est que l'on va ensuite s'efforcer de réduire encore plus notre intervalle d'étude en recherchant des symétries.

Pour pouvoir réduire et diviser par 2 notre intervalle d'étude, nous le centrerons donc sur l'abscisse d'un centre de symétrie ou d'un axe de symétrie.

La première idée qui vient à l'esprit est de regarder si la fonction est paire ou impaire :

• si la fonction est paire, l'axe des ordonnées sera un axe de symétrie ;
• si la fonction est impaire, l'origine du repère sera centre de symétrie.

Dans ces deux cas, nous centrerons l'intervalle d'étude sur la valeur $0$ (par exemple $\left[-{\frac {T}{2}},{\frac {T}{2}}\right]$).

Si la fonction n'est ni paire, ni impaire, nous essayerons de trouver malgré tout d'autres symétries.

Nous rappelons à ce propos quelques résultats (obtenus, par exemple, dans cette page) :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction. La courbe représentative de $f$ admet :

• un axe de symétrie vertical d'équation $x=a$ si et seulement si :

  $\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(a+h)-f(a-h)=0$ ;

• pour centre de symétrie, un point de coordonnées $(a,b)$ si et seulement si :

  $\forall h\in \mathbb {R} \qquad f(a+h)+f(a-h)-2b=0$

(en supposant, bien sûr, que $a+h$ et $a-h$ sont dans le domaine de définition de $f$).

Fin du théorème

Une fois que nous avons trouvé une symétrie et centré notre intervalle d'étude sur cette symétrie, nous couperons notre intervalle en deux, nous ferons alors l'étude sur la moitié de l'intervalle choisi et déduirons le reste du tracé sur l'autre moitié par symétrie centrale ou axiale.

Attention toutefois au point suivant : après avoir divisé l'intervalle d'étude en deux, il se peut qu'il existe encore dans l'intervalle obtenu d'autres symétries qui vont nous permettre de faire une division par deux supplémentaire. Nous n'en avons pas parlé dans les chapitres précédents pour ne pas surcharger les neurones du lecteur, mais c'était le cas des fonctions sinus et cosinus.

Pour la fonction sinus, nous étions arrivés à l'intervalle d'étude $[0,\pi ]$ et nous nous étions arrêtés là. Nous aurions pu poursuivre plus loin en remarquant que nous avons la relation :

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)$

qui nous montre que la droite d'équation $x={\frac {\pi }{2}}$ est axe de symétrie.

Nous aurions donc pu à nouveau diviser l'intervalle d'étude en deux et faire cette étude sur l'intervalle $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$.

Pour la fonction cosinus, nous étions arrivés à l'intervalle d'étude $[0,\pi ]$ et nous nous étions arrêtés là. Nous aurions pu poursuivre plus loin en remarquant que nous avons la relation :

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)$

qui nous montre que le point de coordonnées $\left({\frac {\pi }{2}},0\right)$ est centre de symétrie.

Nous aurions donc pu à nouveau diviser l'intervalle d'étude en deux et faire cette étude sur l'intervalle $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$.

On peut ainsi diviser l'intervalle d'étude plusieurs fois et faciliter d'autant l'étude et le tracé de la fonction.

Souvent, l'intervalle que l'on cherche à couper en deux est de la forme $[0,M]$. Dans ce cas-là, il est plus commode d'utiliser le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $f$ une fonction.

Si $\forall h\in \mathbb {R} \quad f(M-h)=f(h)$ alors la courbe admet la droite d'équation $x={\frac {M}{2}}$ comme axe de symétrie.

Si $\forall h\in \mathbb {R} \quad f(M-h)=-f(h)$ alors la courbe admet le point de coordonnées $\left({\frac {M}{2}},0\right)$ comme centre de symétrie.

Fin du théorème

Étude d'un exemple

Soit à étudier la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\frac {\sin x}{\sin 2x}}$.

Domaine de définition

Le dénominateur ne doit pas être nul. On doit donc avoir :

$\sin 2x\neq 0$.

Nous savons que le sinus s'annule pour $x=k\pi$ avec $k\in \mathbb {Z}$. Il faut donc que :

$2x\neq k\pi$

c'est-à-dire :

$x\neq {\frac {k\pi }{2}}$.

Le domaine de définition est donc :

$D_{f}=\mathbb {R} \setminus \left\{\left.{\frac {k\pi }{2}}\;\right|\;k\in \mathbb {Z} \right\}$

et sur ce domaine, $f(x)={\frac {\sin x}{2\sin x\cos x}}={\frac {1}{2\cos x}}$.

Restriction du domaine d'étude

Nous avons déjà :

$f(x+2\pi )={\frac {1}{2\cos(x+2\pi )}}={\frac {1}{2\cos x}}=f(x)$

et nous ne pouvons pas trouver de période plus petite. Nous étudierons donc a priori la fonction sur un intervalle de largeur $2\pi$. Essayons toutefois de réduire encore l'intervalle d'étude en étudiant la parité. On a :

$f(-x)={\frac {1}{2\cos(-x)}}={\frac {1}{2\cos x}}=f(x)$.

La fonction est donc paire. Nous centrerons donc notre premier intervalle de largeur $2\pi$ sur $0$ pour pouvoir le couper en deux et nous étudierons a priori la fonction au domaine $\left]0,\pi \right[\setminus \left\{{\frac {\pi }{2}}\right\}$.

Essayons de voir si l'on ne peut pas réduire encore le domaine d'étude, en cherchant une symétrie par rapport au milieu ${\frac {\pi }{2}}$ du nouvel intervalle. On a :

$f(\pi -x)={\frac {1}{2\cos(\pi -x)}}={\frac {1}{-2\cos x}}=-f(x)$,

ce qui montre que la fonction admet le point de coordonnées $\left({\frac {\pi }{2}},0\right)$ comme centre de symétrie.

Nous couperons donc à nouveau notre intervalle d'étude et étudierons donc la fonction sur l'intervalle $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$.

Limites aux bornes de l'intervalle d'étude

Nous avons :

• $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{2\cos x}}={\frac {1}{2\cos 0}}={\frac {1}{2}}$ ;
• $\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\frac {1}{2\cos x}}={\frac {1}{2\times 0^{+}}}=+\infty$.

Nous en déduisons :

• un point limite de coordonnées $(0,1/2)$ ;
• une asymptote verticale d'équation $x={\frac {\pi }{2}}$.

Sens de variation

Sur l'intervalle $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$, $\cos$ est positive et décroissante donc $x\mapsto f(x)={\frac {1}{2\cos x}}$ est croissante, ce qui donne le tableau de variations suivant :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&0&&&&{\frac {\pi }{2}}\\\hline &\|&&&+\infty &\|\\f(x)&\|&&\nearrow &&\|\\&\|&{\frac {1}{2}}&&&\|\\\hline \end{array}}$

Tracé de la courbe

Nous commencerons par tracer la courbe sur l'intervalle $\left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[$. Nous obtenons :

Nous avons vu que la courbe admet le point de coordonnées $\left({\frac {\pi }{2}},\,0\right)$ comme centre de symétrie. Nous ajoutons donc le symétrique de notre premier tracé par rapport à ce point et nous obtenons :

Nous avons aussi vu que la fonction est paire. Nous traçons donc ensuite la courbe symétrique, par rapport à l'axe des ordonnées, de ce que nous avons déjà obtenu. Nous obtenons :

Enfin, nous savons que la fonction est périodique de période $2\pi$. Nous reproduisons donc le tracé périodiquement en le translatant successivement de $2\pi$ vers la droite ou vers la gauche. Nous obtenons finalement :

le tracé étant supposé se prolonger indéfiniment vers $+\infty$ et vers $-\infty$.