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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction logarithme : Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives Fonction logarithme/Utilisation du logarithme pour la recherche de primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Propriété
Soit u une fonction dérivable à valeurs strictement positives sur ℝ.
Alors :
La fonction
f
:
x
↦
ln
(
u
(
x
)
)
{\displaystyle f:x\mapsto \ln(u(x))}
est dérivable sur ℝ
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
u
′
(
x
)
u
(
x
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {u'(x)}{u(x)}}}
Cette formule permet de déterminer certaines primitives, en mettant la fonction de départ sous la forme
u
′
u
{\displaystyle {\frac {u'}{u}}}
, quitte à « compenser » par une constante multiplicative.
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sans se préoccuper de l’intervalle I où cela est possible.
f
(
x
)
=
4
4
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {4}{4x-3}}}
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout
x
∈
R
,
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F(x)=\cdots }
f
(
x
)
=
1
2
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2x+1}}}
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout
x
∈
I
,
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in I,~F(x)=\cdots }
f
(
x
)
=
−
3
4
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {-3}{4x-3}}}
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc une primitive de ƒ est la fonction F définie par pour tout
x
∈
I
,
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in I,~F(x)=\cdots }
Remarque : La fonction logarithme est indispensable au calcul de ces primitives.
Si u n’est pas affine, mais que le dénominateur est proportionnel à u’ [ modifier | modifier le wikicode ]
f
(
x
)
=
2
x
+
4
x
2
+
4
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {2x+4}{x^{2}+4x-3}}}
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
f
(
x
)
=
x
−
2
x
2
−
4
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x-2}{x^{2}-4x+1}}}
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u(x)=\cdots }
u
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle u'(x)=\cdots }
Donc
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle F(x)=\cdots }
Propriété
Deux nombres réels a et b étant fixés, il existe une unique primitive F de ƒ telle que
F
(
a
)
=
b
{\displaystyle F(a)=b}
.
Autrement dit, fixer la valeur de la primitive cherchée en un point suffit à fixer la primitive.
Problématique : On désire trouver la primitive F de ƒ telle que F(a) = b en fixant correctement la constante K .
f
:
x
↦
x
2
x
3
+
1
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {x^{2}}{x^{3}+1}}}
, définie sur
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
Déterminer la primitive F de ƒ sur
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
telle que
F
(
2
)
=
−
3
{\displaystyle F(2)=-3}
.
Pour tout
x
∈
R
+
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+},~u(x)=\cdots }
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout
x
∈
R
+
,
F
0
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+},~F_{0}(x)=\cdots }
La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par pour tout
x
∈
R
+
,
F
(
x
)
=
F
0
(
x
)
+
K
=
⋯
+
K
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+},~F(x)=F_{0}(x)+K=\cdots +K}
−
3
=
F
(
2
)
=
⋯
{\displaystyle -3=F(2)=\cdots }
Donc
K
=
⋯
{\displaystyle K=\cdots }
Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par pour tout
x
∈
R
+
,
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+},~F(x)=\cdots }
Solution
∀
x
∈
R
+
,
u
(
x
)
=
x
3
+
1
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+},~u(x)=x^{3}+1}
, soit
u
′
(
x
)
=
3
x
2
{\displaystyle u'(x)=3x^{2}}
f
(
x
)
=
1
3
3
x
2
x
3
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}{\frac {3x^{2}}{x^{3}+1}}}
Donc une primitive de ƒ est définie par :
∀
x
∈
R
+
,
F
0
(
x
)
=
1
3
ln
(
u
(
x
)
)
=
1
3
ln
(
x
3
+
1
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+},~F_{0}(x)={\frac {1}{3}}\ln(u(x))={\frac {1}{3}}\ln(x^{3}+1)}
La primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :
∀
x
∈
R
+
,
F
(
x
)
=
F
0
(
x
)
+
K
=
1
3
ln
(
x
3
+
1
)
+
K
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+},~F(x)=F_{0}(x)+K={\frac {1}{3}}\ln(x^{3}+1)+K}
−
3
=
F
(
2
)
=
1
3
ln
(
9
)
+
K
=
2
3
ln
(
3
)
+
K
{\displaystyle -3=F(2)\,={\frac {1}{3}}\ln(9)+K={\frac {2}{3}}\ln(3)+K}
Donc
K
=
−
3
−
2
3
ln
(
3
)
{\displaystyle K=-3-{\frac {2}{3}}\ln(3)}
Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(2) = -3 est définie par :
∀
x
∈
R
+
,
F
(
x
)
=
3
ln
(
x
3
+
1
)
−
3
−
2
3
ln
(
3
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{+},~F(x)=3\ln(x^{3}+1)-3-{\frac {2}{3}}\ln(3)}
f
:
x
↦
−
x
x
2
+
5
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {-x}{x^{2}+5}}}
, définie sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Déterminer la primitive F de ƒ telle que
F
(
−
1
)
=
3
{\displaystyle F(-1)=3}
.
Pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=\cdots }
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout
x
∈
R
,
F
0
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F_{0}(x)=\cdots }
La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout
x
∈
R
,
F
(
x
)
=
F
0
(
x
)
+
K
=
⋯
+
K
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F(x)=F_{0}(x)+K=\cdots +K}
3
=
F
(
−
1
)
=
⋯
{\displaystyle 3=F(-1)=\cdots }
Donc
K
=
⋯
{\displaystyle K=\cdots }
Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout
x
∈
R
,
F
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F(x)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
u
(
x
)
=
x
2
+
5
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~u(x)=x^{2}+5}
, soit
u
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle u'(x)=2x}
Donc une primitive de ƒ est définie par pour tout
x
∈
R
,
F
0
(
x
)
=
−
1
2
ln
(
x
2
+
5
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F_{0}(x)=-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+5)}
La primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout
x
∈
R
,
F
(
x
)
=
F
0
(
x
)
+
K
=
−
1
2
ln
(
x
2
+
5
)
+
K
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F(x)=F_{0}(x)+K=-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+5)+K}
3
=
F
(
−
1
)
=
−
1
2
ln
(
6
)
+
K
{\displaystyle 3=F(-1)=-{\frac {1}{2}}\ln(6)+K}
Donc
K
=
3
+
1
2
ln
(
6
)
{\displaystyle K=3+{\frac {1}{2}}\ln(6)}
Finalement, la primitive F de ƒ telle que F(-1) = 3 est définie par pour tout
x
∈
R
,
F
(
x
)
=
−
1
2
ln
(
x
2
+
5
)
+
3
+
1
2
ln
(
6
)
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~F(x)=-{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+5)+3+{\frac {1}{2}}\ln(6)}