Leçons de niveau 13

Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme

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Étude d'une fonction comprenant un logarithme
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Exercices no4
Leçon : Fonction logarithme

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Primitive d'une fraction rationnelle
Exo suiv. :Équations comportant des exponentielles
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Fonction logarithme/Exercices/Étude d'une fonction comprenant un logarithme
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Dans tout le problème, désigne l'intervalle .

Partie A[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie par pour tout .

On admet que le tableau de variation de est le suivant :

1. Calculer .

2. En déduire que est une fonction positive sur l'intervalle .

Partie B[modifier | modifier le wikicode]

Soit la fonction définie pour tout par

1. On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle , et la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.

a. Étudier la limite de en .
b. Étudier la limite de en 0 et en déduire l’existence d'une asymptote à la courbe .
c. Montrer que pour tout réel de l'intervalle ,
d. Déduire de la partie A le signe de pour tout puis le sens de variation de sur l'intervalle .
e. Faire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .

2. Soit la droite d'équation

a. Montrer que la droite est asymptote à la courbe .
b. Montrer que le point d'intersection de et de a pour coordonnées .
c. Sur l'intervalle , déterminer la position de la courbe par rapport à la droite .

3. En utilisant les résultats précédents, tracer avec soin la droite et la courbe .

4. On considère la fonction définie sur l'intervalle par pour tout

a. En remarquant que est de la forme , déterminer une primitive de la fonction , que l’on notera .
b. Calculer en l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe , la droite et les droites d'équations et .